第01讲 空间向量与立体几何-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量与立体几何 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 空间向量的有关概念 1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2. 表示法： （1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 （2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. 3．几类特殊的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量 记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a a∥b或∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 a＝b或 ＝ 知识点2 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （二）空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点3　共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 用途 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.直线l的方向向量 如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa. 定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 知识点4 空间向量的夹角 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 知识点5 空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 注：等于的长度与在的方向上的投影的乘积． (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2