4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第一课时) 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.(难点) 2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(重点) 复习回顾: 1. 等差数列定义: 3. 等差数列通项公式: an=a1+(n-1)d (n≥1). an-an-1 =d (n≥2,n) 或 an+1-an =d (n). 4.等差数列和一次函数的关系 ,公差d=0时, 当x=n 2. 等差中项 A= 5.等差数列一些常见的性质 (1)通项公式的推广公式: . (2)若 为等差数列,且 ,则 . 特别地,若 ,则 . (3)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和, 即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. 4 (5)若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则 ①数列{c+an}的公差为 ;②数列{c·an}的公差为 ; ③数列{an+an+k}的公差为 ;④数列{pan+qbn}的公差为 . 2d pd+qd′ d cd (4)在等差数列中每隔相同的项选出一项,按原来的顺序排成一列,仍然是一个等差数列. 即:若 是等差数列,公差为 ,则 , , , 是公差为 的等差数列. 若下标成等差数列,则对应的项成等差数列. 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式,下 面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题. 据说,200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题: 1+2+3+‧‧‧+100=? 高斯(Gauss,1777-1855),德国数学家,近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,‧‧‧,n,‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 高斯的算法: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 对于数列1,2,3,‧‧‧,n,‧‧‧ ,若设an=n,那么高斯的计算方法 可以表示为 可以发现,高斯在计算中利用了 这一特殊关系. 等差数列的性质:对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. l [解法一]原式 [解法二]原式 [解法三] 思考 你能用高斯的方法求1+2+ ‧‧‧ +100+101吗? 这种求和方法叫倒序求和法 将上述方法推广到一般,可以得到两种求和方法: 于是有 当n是偶数时,有 当n是奇数时,有 ∴对任意正整数n,都有 方法一 :分奇偶讨论 方法二:倒序求和法 探究:上述倒序求和的方法可以推广到求等差数列{an}的前n项和吗? 由此得等差数列{an}的前n项和公式为 ∴等差数列{an}的前n项和公式还可写成 (1) (2) 等差数列的前n项和公式 思考 不从公式(1)出发,你能用其他方法得到公式(2)吗? 例6 已知数列{an}是等差数列. 例7 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 一般地,对于等差数列,只要给定两个相互独立的条件,这个数列就完全确定。 根据下列各题中的条件,求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1=5, an=95, n=10; (2) a1=100, d=-2, n=50; (3) a1=-4, a8=-18, n=10; (4) a1=14.5, d=0.7, an=32. 课本P22 根据下列各题中的条件,求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1=5, an=95, n=10; (2) a1=100, d=-2, n=50; (3) a1=-4, a8=-18, n=10; (4) a1=14.5, d=0.7, an=32. 课本P22 2. 等差数列-1, -3, -5, ‧‧‧的前多少项的 和是-100 ? 3. 在等差数列{an}中,Sn为其前n项的和,若S4=6,S8=20,求S16 . 课本P23 4. 在等差数列{an}中,若S15=5(a2+a6+ak),求k. 课本P23 5. 已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 课本P23 小结: 2.等差数列的前n项和公式的应用 (1)当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;当已知首项、公差