专题5.4 垂线（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题5.4 垂线（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题； 3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 【知识要点】 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 特别说明： (1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 特别说明： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 特别说明： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 特别说明： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】 类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角 1．如图，直线，相交于点，下列条件：；；，其中能说明的有（　　　） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可． 解：，可以得出，故符合题意； ，，故符合题意， ，可以得出； ，不能得到，故不符合题意； 故能说明的有． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为． 举一反三： 【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O，，，AB与CD的关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】由图知，∠1+∠2+∠AOC=180°，再由已知可得∠AOC=90°，从而可得AB与CD的位置关系． ∵∠1+∠2+∠AOC=180°，且，， ∴∠AOC=90°， ∴AB⊥CD， ∴AB与CD的位置关系是垂直． 故选：B． 【点拨】本题考查了垂直的定义，结合图形得到∠1+∠2+∠AOC=180°是本题的关键． 【变式2】如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果． 解：∵∠1+∠2+90°=180°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠1=20°， ∴∠2=70°， 故选：C． 【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键． 类型二、垂线➽➼垂线的画法 2．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】根据垂直的定义即可解答． 解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确； 淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键． 举一反三： 【变式1】 下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可． 解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线， 选项的画法正确， 故选：． 【