专题2.3 立体几何与空间向量-2023年高考数学阶段复习名校模拟题精选（解答题）（新高考地区专用）

专题2.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 例1、（南京一中2022~2023学年第一学期期中考试试卷高三数学） 如图①，在菱形中，且，为中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求二面角的余弦值． 1-1、（2022~2023学年度第一学期南通市期中学情检测高三数学）已知直三棱柱，，，． （1）证明：∥平面； （2）当最短时，求二面角的余弦值． 1-2、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）如图，在三棱柱中，， D是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 1-3、（江苏省南通市通州区2022-2023学年高三（上）期中复习数学试卷）已知梯形中，，，，，分别是，上的点，，，是的中点，沿将梯形翻折，使平面平面． （1）当时 ①求证：； ②求二面角的余弦值； （2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的一半？并说明理由． 题组二、角与距离的问题 例2、（2022~2023学年第一学期连云港期中调研考试高三数学试题）如图，在四棱锥 中，平面与底面 所成角为 ，四边形是梯形，，， ． （1）证明：平面平面 ； （2）若点T是 的中点，点M是 的中点，求点P到平面 的距离． 2-1、（江苏泰州市2022～2023学年度第一学期期中考试高三数学试题） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABCD，N是CD的中点． （1）若点M为线段PD上一点，且平面AMN，求的值； （2）求二面角B－PA－C的正弦值； （3）求点N到面PAC的距离． 2-2、（2022~2023学年度第一学期南通市期中学情检测高三数学）如图，四棱锥中，是的中点,，且，， ． （1）求证：平面； （2）求点到面的距离． 题组三、探索性问题 例3、（青岛一中2022-2023学年度第一学期第一次模块考试） 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点. （1）求平面与平面夹角的余弦值. （2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3-1、（江苏苏州市2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数学 ）如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：平面平面； （2）若，是的中点，记与底面所成角为，与平面所成角为，试研究与的等量关系． 3-2、（2023届广东省高三四校联考数学）(12分)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，侧面为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 例1、（南京一中2022~2023学年第一学期期中考试试卷高三数学） 如图①，在菱形中，且，为中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求二面角的余弦值． 【解析】 【分析】（1）在图①中，连接，证明出，在图②中，利用勾股定理证明出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在图①中，连接． 四边形为菱形，，是等边三角形． 为的中点，， 又，． 在图②中，，则，． ，平面. 【小问2详解】 解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系． 则、、、、. 为的中点，. ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得. 又平面的一个法向量为． 设二面角的大小为，由题意知为锐角，则. 因此，二面角的余弦值为. 1-1、（2022~2023学年度第一学期南通市期中学情检测高三数学）已知直三棱柱，，，． （1）证明：∥平面； （2）当最短时，求二面角的余弦值． 【解析】 【分析】（1）根据题意，以为正交基底如图建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，求两向量的数量积可得结论； （2）先求出的最小值，从而可得，然后求出两半平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 直三棱柱中，， 以为正交基底如图建立空间直角坐标系 设，则，，， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量为． 因为，平面， 所以∥平面ABC． 【小问2详解】 由（1）得，． 当时，最短，所以，． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，则 ，令，则， 设二面角的平面角为，则 ， 由图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦