专题16 正方形折叠问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题16 正方形折叠问题 【例题讲解】 如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG． (1) 求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF． ①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长． (3) 当BE︰EC= 时，DE=DG． 试题解析：（1）证明：如图：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°． ∵△DEC沿DE折叠得到△DEF， ∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2， ∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG， ∴△DGA≌△DGF， ∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°． (2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点 ∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6， ∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6 ∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC ∴BF∥DE． ②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x，由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3， ∴GE=EF+GF=3+x． 在Rt△GBE中，根据勾股定理得： 解得x=2，即线段AG的长为2． . 【综合演练】 1．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得，DF=DC=DA，∠DFG=∠A，进而Rt△ADG≌Rt△FDG，根据全等三角形的性质以及折叠的性质，可得到EB=EG，由此可得△BGE的周长． 【详解】解：由折叠可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， 在Rt△ADG和Rt△FDG中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG=FG， ∴AG+EC=GF+EF=GE， 故①正确， ∵Rt△ADG≌Rt△FDG， ∴∠ADG=∠FDG， 由折叠可知，∠CDE=∠FDE， ∴∠GDE=∠GDF＋∠EDF=， 故②正确， ∵正方形的边长为12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理可得：， 即， 解得：x=4， ∴AG=GF=4，BG=8，EG=10， ∴△BGE的周长=BE+EG+GB=6+10+8=24， 故③正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键． 2．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（    ） A．8 B．9 C．12 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】由图形翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由阴影部分的周长＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出结论． 【详解】解：由翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG， 阴影部分的周长＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12． 故选C． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB=AB=2，BM=1， 则在Rt△BMF中， FM=， 故选B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键． 4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝(　　) A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】A 【详解】解：由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF， ∴四边形ECDF是正方形， ∴DC=EC=BC-BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=10， ∴DC=10-6=4（cm）