专题15 中点四边形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题15 中点四边形 【例题讲解】问题背景： △ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF 猜想证明： (1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由． (2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长． 拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和△DEN均为等腰直角三角形． 解：（1）解：四边形FGHI是菱形.理由：如图①，连接AE,BD， ∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC,EC＝DC， 在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC(SAS)， ∴AE＝BD，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点， FG＝AE＝IH.FI＝BD＝CH.∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四边形FGHI是菱形； （2）解：如图②，过点D作DM⊥EC于点M，∵△CDE为等边三角形， ∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°，∴BM＝BC－MC＝6－1＝5， 在Rt△DMC中，DM＝， 在Rt△BDM中，BD＝， ∴GH＝BD＝，由(1)知四边形FGHI是菱形，∴.四边形FGHI的周长为4GH＝4. （3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴.∴AN＝BN，DN＝EN， ∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点， ∴FGAE，IHAE，FIBD，GHBD.∴.FGAEIH，FIBDGH， ∵四边形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45° ∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形. 【综合演练】 1．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点． (1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______． 【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析 (2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析 (3)≤m≤ 【分析】（1）连结BD，根据三角形中位线的性质可得MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD，进而可得MQPN，MQ＝PN，根据平行四边形的判定定理即可求解； （2）连结BD、AC，同理可得四边形MNPQ为平行四边形证明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根据中位线的性质，即可得出MQ＝MN，根据平菱形的判定定理即可求解； （3）连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位线，根据三角形三边关系即可求解． （1） 解：四边形MNPQ为平行四边形，连结BD ∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点. ∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD ∴MQPN，MQ＝PN ∴四边形MNPQ为平行四边形． （2） 四边形MNPQ为菱形，连结BD、AC ∵点M、N分别是边AB、BC的中点. ∴MN＝AC 在△ABC与△DCB中 ， ∴△ABC≌△DCB（SAS） ∴AC＝BD ∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点. ∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD ∴MQMN ，MQ＝PN ∵四边形MNPQ为平行四边形    ∴平行四边形MNPQ是菱形． （3） 解：如图，连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP， 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10， ∵点P是BD的中点，∴CP＝BP＝CP＝BD＝5， ∵点Q是AD的中点，点P是BD的中点， ∴PQ是△ABD的中位线， ∴PQ＝AB＝， 在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ， ∴＜m＜， ∵点C、点Q是定点，点P是动点， ∴当点C、P、Q三点共线，且点Q在线段CP上时，m取得最小值， 当点C、P、Q三点共线，且点Q在射线CP上时，m取得最大值， 综上，m的取值范围为：≤m≤． 【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形三边关系，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心． （1）写出一种你学过的和美四边形________； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________ A．矩形