专题14 三角形斜边中线与中位线结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题14 三角形斜边中线与中位线结合 【例题讲解】 （1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程） （2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______． 解：（1），理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF， ∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点， ∴DE是△ACF的中位线，∴； （2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线， ∴，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点， ∴，∴DE=MD-ME=3． 【综合演练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（   ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，若DE=10， ∴AC=2DE=20， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线， ∴BF=AC=10， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后证明，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中位线定理求出即可． 【详解】解：， ， ，为中点， ， ， 又平分， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明是解答本题的关键． 3．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是(   ) A． B． C．1 D．-2 【答案】C 【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论． 【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆， ∴， ∴DM的最小值为1， 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题． 4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18-5=13． ∵F为DE的中点， ∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13， ∴CD=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=12，O为BD的中点， ∴OF是△BDE的中位线， ∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5， 故选D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键． 5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，，则△DHE的周长为________cm． 【答案】## 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵AH是△ABC的高， ∴∠AHB=90°， ∵点D是AB的中点， ∴DH=AB=×6=3cm， ∵D、E分别是BA、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AC=×8=4cm， ∵BE=EC，CH-BH=cm， ∴HE=cm， ∴△DHE的周长=DH+DE+HE=cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 6．如图，在中，，，，，分别为，，的中点，若，则的长度为 _____． 【答案】3 【