专题13 一次函数中的正方形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题13 一次函数中的正方形 【例题讲解】 如图，已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标． 【详解】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q． ∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ， ∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°， ∴△FPE≌△FQM， ∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x． ∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°， ∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°， ∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1）， ∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（，0）； ②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）． 综上所述，满足条件的点E坐标为（，0）或（6，0）． 【综合演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________． 【答案】-3＜b＜3 【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论． 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1）， ∴D（1，4），B（4，1） 当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3， 当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3． ∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3． 故答案是：-3＜b＜3． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___． 【答案】﹣2 【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k． 【详解】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1）， ∴点B坐标为（1，1）， ∵点B在直线y=kx+3上， ∴1=k+3，解得k=﹣2． 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． (1)求正方形ABCD的面积； (2)求点C和点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)C(-1，3)，D(-3，2) (3)，理由见详解 【分析】（1）由一次函数，可求出A和B点坐标，即得出OA和OB的长，再根据勾股定理求出AB的长，最后由正方形面积公式计算即可； （2）作轴，轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证，即得出，，从而可求出，，即得出C、D两点坐标； （3）找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据轴对称的性质可知此时周长最小．由B(0，1)，得出(0，-1)，利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出M点坐标． （1） 对于直线，令，得到；令，得到， ∴A(-2，0)，B(0，1)， ∴在中，，， ∴根据勾股定理得：， ∴正方形面积为5； （2） 如图，作轴，轴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴C(-1，3)，D(-3，2)； （3） 如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小． ∵B(0，1)， ∴(0，-1) 设直线的解析式为， 把与坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 对于，令，得到， ∴M(-1，0)． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE． （1）求线段AB的长； （2）求证：AD平分∠EAF； （3）求△AEF的周长． 【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24． 【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长； （2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠D