专题12 一次函数中的菱形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题12 一次函数中的菱形 【例题讲解】 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求的值； （2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴ 轴， 轴， ∵一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE， ∴OD=BE=b，∵点B的坐标为（6，8），∴AB=8，点E的横坐标为6， ∴AE=AB-BE=8-b，∴点E（6，8-b），将点E代入，得： ，解得： ； （2）如图（1），若以OD为对角线，得到菱形OMDN， 则MN垂直平分OD，M和N关于y轴对称，∵OD=6，∴点M的纵坐标均是 ， 将 代入，得： ，解得： ，∴点M ，∴点N； 如图（2），若以DM为对角线，得到菱形ODNM，则OM=OD=6，线段DM与线段ON的中点重合， 设点M的横坐标为a，则纵坐标为， ∴ ， 即 ，解得： 或（舍去） ，∴点M，设点N ，由（1）知： ， ∴ ，解得： ，∴点N ， 综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或． 【综合演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）． （1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式； （2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； （3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，满足条件的点M为或或． 【分析】（1）将原点坐标代入解析式可求出k的值，即可求解； （2）由题意可得点C（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，则可得不论k为何值，直线l总经过点C； （3）分OA为边，OA为对角线两种情况讨论，由菱形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵直线l经过原点， ∴把点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k， 得：2﹣4k＝0， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）由题意可知，点C的坐标为（4，2）， 当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2， ∴不论k为何值，直线l总经过点C； （3）设点M（x，x） ①以OA为菱形的边，此时，OM＝OA＝5， ∴ ∴x＝±2， 点M的坐标为或； ②以OA为菱形的一条对角线， 此时MN垂直平分OA， 则x＝ ∴x＝5 则M的坐标为； 综上所述：满足条件的点M为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标． 【答案】（1）；（2）M(1, )；（3）当四边形OMDN是菱形时，N(－, )或(,) 【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值； （2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标； （3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标． 【详解】(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b， ∵OD=BE， ∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)， 把E的坐标代入y=x+b得4−b=−2+b， 解得：b=3； (2)， ∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3， ∴， 设M的横坐标是a，则×3a=1.5，解得：a=1， 把x=a=1代入y=x+3得y=+3=， 则M的坐标是(1，)； (3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1), M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=