专题11 一次函数中的矩形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题11 一次函数中的矩形 【模型讲解】 阅读下列两段材料，回答问题： 材料一：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即 材料二：如图1，正比例函数和的图象相互垂直，分别在和上取点、使得分别过点作轴的垂线，垂足分别为点．显然，，设，，则，．．于是，所以的值为一个常数，一般地，一次函数，可分别由正比例函数平移得到. 所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数，的图象相互垂直，则的值为一个常数. （1）在材料二中，=______（写出这个常数具体的值） （2）如图2，在矩形中，点是中点，用两段材料的结论，求点的坐标和的垂直平分线的解析式; （3）若点与点关于对称，用两段材料的结论，求点的坐标. 【详解】（1）∵=-,=,∴k1•k2=-•=-1.故答案为-1. （2）∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，2），点D是OA中点， ∴点D的坐标为（2，1）．∵点A的坐标为（4，2），∴直线OA的解析式为y=x． ∵直线l⊥直线OA，∴设直线l的解析式为y=-2x+m．∵直线l过点D（2，1）， ∴1=-4+m，解得：m=5，∴OA的垂直平分线的解析式为y=-2x+5． （3）∵点A的坐标为（4，2），四边形OBAC为矩形，∴点C的坐标为（0，2）． 设直线CC′的解析式为y=-2x+n，∵直线CC′过点C（0，2）， ∴n=2，即直线CC′的解析式为y=-2x+2． 联立直线CC′和OA的解析式成方程组，得：， 解得：∴点E的坐标为（ ）∵点E为线段CC′的中点， ∴点C′的坐标为（ ），即（-）. 故答案为(1)-1；(2) ， ；（3） 【综合演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点.        （1）求一次函数的解析式； （2）点在轴上，当最小时，求出点的坐标； （3）若点是直线上一点，点是平面内一点，以、、、四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）或（，）. 【分析】（1）由A、C坐标，利用待定系数法可求得答案； （2）由一次函数解析式可求得B点坐标，可求得B点关于x轴的对称点B′的坐标，连接B′C与x轴的交点即为所求的P点，由B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得P点坐标； （3）分两种情形分别讨论：①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC；②当OC为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC；分别求出E和E’的坐标，然后根据矩形的性质和坐标间的位置关系即可得到点的坐标. 【详解】解：（1）∵一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象经过点A（−3，0），点C（3，6）， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝x＋3； （2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB＋PC的值最小． ∵B（0，3），C（3，6） ∴B′（0，-3）， 设直线CB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则，解得：， ∴直线CB′的解析式为y＝3x−3， 令y＝0，得x＝1， ∴P（1，0）； （3）如图， ①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC， ∵直线OC的解析式为y＝2x， ∴直线OE的解析式为y＝x， 联立，解得， ∴E（−2，1）， ∵EO＝CF，OE∥CF， 根据坐标之间的位置关系易得：F（1，7）； ②当OC为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC， ∴直线OE′的解析式为y＝−x， 由，解得， ∴E′（，）， ∵OE′＝CF′，OE′∥CF′， 根据坐标之间的位置关系易得：F′（，）， 综上所述，满足条件的点F的坐标为（1，7）或（，）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短路径问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线，交于点． (1)求点的坐标，并直接写出不等式的解集． (2)求的面积． (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）联立直线：与直线：即可求得D的坐标，根据图象交点的横坐标即可写出不等式的解集； （2）分别求得的坐标，结合（1）中的坐标，根据即可求解； （3）根据矩形的性质，分为边和对角线两种情况讨论，结合图象即可求解． （1） 联立 解得 根据函数图象可知，的解集为； （2） 由，令，解得，则， 令，解得，则， 由，令，解得，则， 令，解得，则， ∴， ； （3） 存在，的坐标为或，