专题10 一次函数中的平行四边形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题10 一次函数中的平行四边形 【例题讲解】 如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．（1）求点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由； 【分析】分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可． 解：（1）解方程组：得：，点坐标是； （2）存在；令y=0代入，得，解得：x=， ∴C（，0）， 设M（x，y）如图所示： ①当AC是对角线时，x=2+-0=，y=3，∴点M坐标是（5.5，3）； ②当AO是对角线时，x=2+0-=-1.5，y=3，∴点M坐标是（-1.5，3）； ③当CO是对角线时，x=0+-2=1.5，y=-3，∴点M坐标是（1.5，-3）， 综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）． 【综合演练】 1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC⊥BC； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)． 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理即可求证； （2）过分别作的平行线，分别相交于，再根据平行四边形的性质即可求得D点的坐标． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：、、， 又∵，即， ∴为直角三角形，， ∴AC⊥BC； （2）过分别作的平行线，分别相交于，如下图： ①以为邻边时， 则、 又∵A点坐标为(2，3)，C点坐标为(0，﹣1)， C点向右平移了2个单位，向上平移了4个单位， ∴点可以由点右平移了2个单位，向上平移了4个单位得到， 又∵B点坐标为(﹣2，0) 得到点坐标为(0，4)； ②以为邻边时， 则、 又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0) B点向右平移了4个单位，向上平移了3个单位 ∴点可以由点C右平移了4个单位，向上平移了3个单位 又∵C点坐标为(0，﹣1) 得到点坐标为 (4，2)； ③以为邻边时， 则、 又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0) A点向左平移了4个单位，向下平移了3个单位 ∴点可以由点C左平移了4个单位，向下平移了3个单位 又∵C点坐标为(0，﹣1) 得到点坐标为(-4，-4)． 综上所述，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的应用、平行四边形的性质，熟练掌握相关基本性质，利用平行四边形的性质求解点的坐标是解题的关键． 2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4． (1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ； (2)求直线l2的解析式及△CDE的面积； (3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标． 【答案】(1)x＜1 (2)2 (3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4） 【分析】（1）直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），即可求解； （2）将点B、D的坐标代入y=kx+b，再求出点E，点C的坐标，再由三角形面积公式即可求解； （3）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解． （1） 对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则 4=2x+2， 解得：x=1， 故点D（1，4）， 从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2， 故答案为：x＜1； （2） 将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得： ， 解得：， 故直线l2：y=-2x+6， 当x=0时，y=6, 对于直线l1：y=2x+2，当x=0时，y=2， ∴ ∴ ∴ （3） 分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′， 对于直线l1：y=2x+2，当y =0时，x =-1， ∴ ∵B(3,0) ①当AB是平行四边形的一条边时， 此时符合条件的点为下图中点P和P′， 则AB=4=PA=P′D， 故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）； ②当AB是平行四边形的对角线时， 此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）； 综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）． 【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到平行四边形的