专题09 正方形中的最值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题09 正方形中的最值 【例题讲解】 P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为_______ 【详解】如解图，将绕点A顺时针旋转得到，∵， ∴是等边三角形，∴，，∴， ∴当E､F､P､C共线时，最小，作交的延长线于M，的延长线交的延长线于N，则四边形是矩形，在中， ∵，∴，∵， ∴，∴．∴的最小值为． 【综合演练】 1．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， ∴DN=BN， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′， ∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在Rt△BCM中，BM= 故DN+MN的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键． 2．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值． 【详解】解：因为，为的中点， 取的中点，连接MN，CN， 易得， 所以. 在点的运动过程中，的值不变， 因为， 当，，三点在同一条直线上时，最小， 此时． 故选：D 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线． 3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可． 【详解】解：解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE， 所以AE＋DE＝DH． 在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80 ∴DH＝4 ∴BF＋DE最小值为4 故选：    D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 4．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF=OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OP=BC， ∵AC=， 则BC=2， ∴OP=1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接  PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∵∠ABE=∠BCE， ∴∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠BEC=90°， ∴点E在以BC为直径的半圆上移动， 如图，设BC的中点为O，作