专题08 菱形中的最值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题08 菱形中的最值 【例题讲解】 如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____ 解：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN， ∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值； ∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°， ∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案为3． 【综合演练】 1．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称， 如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值， ∵E为AB的中点，∠DAB=60°， ∴DE⊥AB， ∴ED=， ∴EF+BF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值． 2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴A、C关于BD对称， ∴连AE交BD于P， 则PE+PC＝PE+AP＝AE， 根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值． ∵∠ABC＝60°，AB=BC ∴△ABC为等边三角形， 又∵BE＝CE ， ∴AE⊥BC， ∴AE＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键． 3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ） A．2 B．2 C．4 D．2+2 【答案】B 【详解】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q， ∵AB=4，∠A=120°， ∴点P′到CD的距离为4×=， ∴PK+QK的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 4．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，最小值为GF，求出GF即可． 【详解】解：作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，连接PE， 由对称性可得PG=PE，AG=AE， ∴PE+PF=PG+PF⩾GF， 当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值， ∵点E是AB的中点， ∴点G是AD的中点， ， ∵F是BC的中点， ， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴，AD=BC， ， ∴四边形ABFG是平行四边形， ∴GF=AB=4， ∴PE+PF的最小值为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键． 5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求． 【详解】解：∵菱形ABCD， ∴点A与点C关于BD对称， 连接AE交BD于点P，连接PC， 则PE＋PC＝PA＋PC＝AE， ∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小， ∵E是BC的中点，菱形A