专题07 矩形中的最值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题07 矩形中的最值 【例题讲解】 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则EPB的周长最小值为______． 解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG， ∵AF＝AB，∠DAB＝90°，∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称， ∴PB＝PF，∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，∵E、G分别为DB、AB的中点， ∴EG∥AD，EG＝AD＝BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6， ∴EG⊥AB，∴EF＝，EB＝， ∴△EPB的周长最小值为．故答案为：． 【综合演练】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵四边形是矩形， ∴，，∠QCE＝90°， ∵， ∴, ∵点F点关于BC的对称点G， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴GH＝DF＝6，∠H＝90°, ∵点E是CD中点， ∴CE=2， ∴EH＝2+4＝6， ∴∠GEH＝45°， ∴∠CEQ＝45°， 设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△CQE中， ∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°， ∴CQ＝EC， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 2．如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（    ） A．2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用SAS证明，得，同理得，则四边形是平行四边形，作点N关于BC的对称点，连接，，求出    的长，从而解决问题． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 同理得，， ∴四边形MNOP是平行四边形， 作点N关于BC的对称点，连接，，过点P和，将AB于点H， 则，， ∴的最小值为． ∵四边形ABCD是矩形，，， ∴四边形PCBH是矩形， ∴，． ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴四边形MNOP周长的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由S△PBC＝S矩形ABCD．得出动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求得CE的值，即PB＋PC的最小值． 【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h． ∵S△PBC＝S矩形ABCD． ∴BC•h＝AB•AD， ∴h＝AB＝1， ∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上， 如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离． 在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2， ∴CE＝， 即PB＋PC的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 4．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可． 【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=