专题06 平行四边形中的最值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题06 平行四边形中的最值 【例题讲解】 如图，在平行四边形中，，，， （1）平行四边形的面积为________． （2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________． 解：（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC=6，AB=CD=，∵∠BCD=30°=∠CBF，∴CF=BC=3， ∴四边形ABCD的面积===； （2）连接MC，过点M作ME⊥CD于E，交CD的延长线于点E； ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵点M为AD的中点，∠BCD=30°， ∴DM=MA=3，∠MDE=∠BCD=30°，∴ME=DM=，DE=， ∴CE=CD+DE==，由勾股定理得：CM2=ME2+CE2， ∴CM==，由翻折变换的性质得：MA′=MA=3，∵MA′+A′C≥MC， ∴A′C≥MC- MA′= MC-3，显然，当折线MA′C与线段MC重合时， 线段A′C的长度最短，此时A′C=，故答案为：（1）；（2）． 【综合演练】 1．如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°， ∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4， ∵AM＝DM＝DC＝4， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC， ∴∠MAC＝∠MCA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC＝ 在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°， ∴AN＝AC＝ ∵AE＝EH，GF＝FH， ∴EF＝AG， ∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长， ∴AG的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值与最小值的差为： 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（　　） A．+ B．1+ C．4 D．2+2 【答案】A 【分析】设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，求出AC＝CF+AF＝2+2，由平行四边形性质得出AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示： 则∠BFC＝∠BFA＝90°， ∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°， ∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB， ∴CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2， ∴AC＝CF+AF＝2+2， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO， ∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小， 则△AOD是等腰直角三角形， ∴OD＝AO＝， ∴DE＝2OD＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．如图，在中，，点D为上一动点（不与点C重合），以，为一组邻边作平行四边形，当的值最小时，平行四边形的周长为_____． 【答案】4+ 【分析】根据题意，可知当DE⊥AE时，DE取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到AD、CD的长，从而可以得到当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长． 【详解】解：当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD=x， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴CD=AE，AD=CE，BC∥AE， ∵∠B=90°，DE⊥AE， ∴四边形BAED是矩形， ∴BD=AE， ∴BD=CD=x， ∵BC=BD+CD，BC=4， ∴BD=CD=2， ∵AB=3，∠B=90°， ∴AD=， ∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2++2+=4+， 故答案为：4+. 【点睛】本题考查平行四边