专题05 旋转之线段问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题05 旋转之线段问题 【模型讲解】 数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断． (1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是_______； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)由（1）、（2）两问可知：___________． 【详解】（1）如图，△AP1 B为所作；连接PP1， △AP1 P为等边三角形理由如下： ∵△APC绕点A顺时针旋转60°后得△AP1 B， ∴AP1=AP，∠PAP1 = 60°， ∴△AP1P为等边三角形； （2）∵△AP1P为等边三角形； ∴PP1=AP=3，又根据旋转的性质得BP1=PC=5， PP12 + PB2=32+42=25，BP12=CP2=52=25，∴PP12 + PB2=BP12 ∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1 = 90°； （3）∵△APP1为等边三角形，∴∠APP1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB= 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°． 【模型演练】 1．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论； （2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=PA， ∵PC=P'C， ∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′； （2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°， ∴AC=10，BC=， 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′， 当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'=PB， ∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°， ∴∠ABC'=90°， 由勾股定理得： ∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． 2．（1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，，求证：小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现，请你利用图1证明上述结论． (2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，，那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，结合（1）中证明方法进行证明即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵， ∴，即点F、D、G共线， ∴，， ， 即． ∵， ∴ ∴． ∴， 即 （2）． 理由：如图2所示． ∵， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∵ ∴点C、D、G在一条直线上． ∴，，． ∵ ∴． ∵ ∴ ∴． ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，． 【问题提出】 (1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______； 【尝试解决】 (2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积； 【类比应用】 (3)如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的