专题04 旋转之角度问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题04 旋转之角度问题 【模型讲解】【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数． 【详解】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP， ∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3， 在Rt△PBP′中，BP=BP′=2， ∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=2， ∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2， ∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°； （2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， ∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1， ∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=， ∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11， ∵AP′2=（）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°． 【模型演练】 1．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）（1）如图，即为所求； （2）∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得为等边三角形、为直角三角形是解题的关键． 2．如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为． (1)求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)BF=2 (2)∠AEB=135° 【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据AE=1，可得，根据勾股定理逆定理9=32=CE2得出，根据等腰直角三角形可求，再求，根据旋转性质，可得即可． （1） 解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， ∴BE=BF ，∠EBF=∠ABC=90°       ∴△BEF为等腰直角三角形，           设 BE=BF =x，则x2+x2=（2）2 ， 解得： x=2； （2） 解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， ∴∠AEB= ∠BFC ，AE=CF=1， 在△CEF中，EF =2，CF=1，EC=3， ∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9， ∴CF2+EF2=CE2， ∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°， ∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°， ∴∠AEB=135°． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键． 3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P，求出∠APB的度数． 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CB，连接P，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【答案】∠APB =135°，解答过程见解析 【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题． 【详解】解：思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P， 则△AB≌△CBP，A=CP=3，B=BP=2，∠PB=90° ∴∠BP=45°， 根据勾股定理得，， ∵AP=1， ∴， 又∵， ∴， ∴△AP是直角三角形，且∠AP=90°， ∴∠APB=∠AP+∠BP=90°+45°=135°． 思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90