专题17 正方形与45度角基本图-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题17 正方形与45度角基本图 【例题讲解】 如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： ①如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． ②如图3，在中，，，，，则的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程） 解：（1）证明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°， ∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）． ∴CE=CF． （2）解：GE=BE+GD成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE≌△DCF（已证）， ∴∠BCE=∠DCF．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°． ∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG和△FCG中，， ∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=FG．∵FG=GD+DF，∴GE=BE+GD． （3）①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G， 由（2）和题设知：DE=DG+BE， 设DG=x，则AD=12-x，DE=x+4， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得： AD2+AE2=DE2∴（12-4）2+（12-x）2=（x+4）2 解得x=6．∴DE=6+4=10； ②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合， 可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，∴∠EAG=∠E=∠G=90°，AE=AG=AD， BD=EB=2，DC=CG=3，∴四边形AEFG为正方形，设正方形的边长为x， 可得BF=x-2，CF=x-3，在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BF2+CF2=BC2， 即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2，解得：x=6或x=-1（舍去），∴AD=6， 则S△ABC=BC•AD=15． 【综合演练】 1．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°． （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF的长，即可求解． 【详解】（1）由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°， 又∵∠B=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由折叠性质知：AB=AG，AD=AG， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）∵EC=FC=1， ∴BE=DF，EF=， ∵EF=EG+GF=BE+DF， ∴BE=DF=EF=， ∴AB=BC=BE+EC=． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边、对应角相等． 2．如图所示，正方形中，点，分别为，上一点，点为上一点，，关于直线对称.连结并延长交的延长线于，求证：. 【答案】见解析 【分析】连结，由对称的性质可知，进而可证，即可得，由∠AON=90°，可得. 【详解】证明：连结， 、关于对称， 垂直平分， ， ， ，. 在Rt和Rt中 ， ，又， ， . 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．有关角的问题，往往利用全等，构造等腰直角三角形，使问题迅速获解. 3．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，将∠EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线BC交于点F，连接EF． （1）如图①，当BF＝DE时，求证：△ABF≌△ADE； （2）若∠EAF旋转到如图②的位置时，求证：∠AFB＝∠AFE； （3）若BC＝4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接写出点P到直线AB的距离． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或4 【分析】（1）利用定理判定即可； （2）延长到，使，连接，易证，则，；再证明即可得出结论； （3）分两种情形：①，②；①过点作于点，过点作，交延长线于点，利用三角形的面积公式和勾股定理列出方程组求得线段；利用，可得，则点到直线的距离为，结论可得