专题02 实数运算-2023年中考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

专题02 实数运算 一、平方根、算术平方根、立方根 【高频考点精讲】 1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。 （2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”。 2．算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作。 （2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数。 （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算。 3．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作。 （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，任意数都有立方根。 （3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 注意：“”的根指数“3”不能省略，对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一立方根。 4．平方根和立方根的性质 （1）平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 【热点题型精练】 1．（2022•攀枝花中考）2的平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D． 2．（2022•海南模拟）一个正数a的两个平方根是2m﹣1和m+4，则这个正数a＝　 　． 3．（2022•恩施州中考）9的算术平方根是 　 　． 4．（2022•贺州中考）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝0，则3m+n＝　 　． 5．（2022•宝鸡模拟）的立方根为（　　） A． B． C． D． 6．（2022•常州中考）化简：＝　 　． 二、无理数定义及估算 【高频考点精讲】 1．无理数定义 （1）定义：无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数与有理数的区别 ①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，＝0.33333…，而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562373… ②所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数则不能，比如圆周率。 （3）判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，比如是有理数，而不是无理数。 2．估算无理数的大小 估算无理数大小要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值。 【热点题型精练】 7．（2022•福建中考）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A． B． C． D．π 8．（2022•常德中考）在，，﹣，π，2022这五个数中无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2022•连云港中考）写出一个在1到3之间的无理数：　 　． 10．（2022•重庆中考）估计﹣4的值在（　　） A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 11．（2022•绵阳中考）正整数a、b分别满足＜a＜、＜b＜，则ba＝（　　） A．4 B．8 C．9 D．16 12．（2022•黑龙江中考）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为 　 　． 三、实数的运算 【高频考点精讲】 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等。 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度。 【热点题型精练】 13．（2022•大连模拟）下列运算正确的是（　　） A．＝﹣2 B．＝﹣2 C．3﹣1＝﹣ D．（﹣1）2＝3 14．（2022•保定模拟）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为应数单位．规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（　　） A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 15．（2021•恩施州中考）从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2021•河北中考）若取1.