专题11 内外角平分线综合问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题11 内外角平分线综合问题 【例题讲解】 如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°， （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣； （3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+ ＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ③∠Q＝2∠E，则90°﹣=，解得∠A＝60°； ④∠E＝2∠Q，则＝2（90°﹣），解得∠A＝120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 【综合演练】 1．，点，分别在、上运动不与点重合． (1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； (3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数． 【答案】(1)135° (2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45° (3)60°或45° 【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； （3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍． （1） 解：∵、分别是和的平分线， ∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO， ∵， ∴∠EAB+EBA=90°， ∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°， ∴， ， ， ， ； （2） 解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO=2α， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=45°+α， ∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD， ∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°； （3） 解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E， ∴∠AOE=135°， ∴， ， ， ， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线， ∴， 在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍， 则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°； ②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°， 此时∠ABO=120°＞90°，舍去； ③当∠F=3∠E时，得， 此时∠ABO=45°；． ④当∠E=3∠F时，得， 此时∠ABO=135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO的度数为60°或45°． 【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键． 2．已如在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可； （2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CB