专题10 平行线中的角平分线综合问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题10 平行线中的角平分线综合问题 【例题讲解】 如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________； （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE； （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH 故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH （2）设∠BEF=x∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x ∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x 由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x ∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°； （3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60° ①当KH∥NG时 5°×t=60°-30°=30° ∴t=6 ②当KE∥GN时 5°×t=60° ∴t=12 ③当HE∥GN时 5°×t=45°+60°=105° ∴t=21 ④当HK∥EG时， 5°×t=180°-30°-30°=120° ∴t=24 ⑤当HK∥EN时，5t=150° ∴t=30 综上所述，t的值为：6或12或21或24或30． 【综合演练】 1．如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ． (2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数． (3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)15° (2)67.5° (3)5秒或15秒或20秒 【分析】（1）如图2，过点作，利用平行线性质即可求得答案； （2）如图3，分别过点、作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为转半圈，即每秒转，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． （1）如图2，过点作，，，，，，，又．；故答案为：； （2）解：如图3，分别过点、作，，，，，，，，，，和的角平分线、相交于点，，，，，，，，，； （3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为秒转半圈，即每秒转，分三种情况：当时，如图5，此时，，，解得：；②当时，如图6，，，，，解得：；③当时，如图7，延长交于，延长交于，，，，，，，解得：，综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 2．已知，直线ABCD，与交于点． (1)如图1，，则_________°； (2)如图2，的平分线交于点，则与有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，，在的平分线上任取一点，连接，当时，请直接写出的度数（用含有的式子表示）． 【答案】(1)100； (2)∠F=，理由见解析； (3)∠BPD=，证明见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAD=∠ADC，结合图象及三角形外角的性质即可得出结果； （2）设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，根据三角形内角和定理及对顶角相等得出∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，结合角平分线可得∠BAD+∠BCD=2∠F，找准图中各角之间的数量关系即可得出结果； （3）利用三角形外角的性质得出∠ADC=α-∠BCD，由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=β，结合角平分线及各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得出结果． (1) 解：∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠ADC， ∵∠AEC是∆ABE的一个外角， ∴∠AEC=∠ABC+∠BAD， ∴∠AEC=∠ABC+∠ADC， ∵∠AEC=100°， ∴∠ABC+∠ADC=100°， 故答案为：100； (2) 解：∠F=，理由如下： 设AD与B