专题07 平行与旋转问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题07 平行与旋转问题 【模型讲解】 如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=ɑ（0°＜ɑ＜180°） (1)当ɑ为________度时，. (2)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，求出时间t的所有值. 解：（1）当α=15°时，，如图： 故答案为15； （2）①当ADBC时，α=15°，t=3；②当DEAB时，α=45°，t=9； ③当DEBC时，α=105°，t=21；④当DEAC时，α=135°，t=27； ⑤当AEBC时，α=150°，t=30； 综上，t=3或9或21或27或30． 【模型演练】 1．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是 __． 【答案】30° 【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数． 【详解】解：如图： ∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA//b，即a//b， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键． 2．如图，已知，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为______秒． 【答案】0或40或96或180 【分析】根据题意，设射线BD的旋转时间为秒，则，分六种情况讨论，①t=0时，ACBD；②当0＜t≤30，③当30＜t≤75，④当75＜t≤120，⑤当120<t<180时，⑥当t=180时，ACBD共有4种情形，根据平行线的性质得出角度相等，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】∵射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动， ∴射线AC自射线AN的位置旋转至AM，用了（秒），由AM顺时针回转至AN用了（秒）， ∵射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动， 设射线BD的旋转时间为秒，则， ①∵射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动， ∴当t=0时，ACBD； ②当0＜t≤30，射线AC与BD不能互相平行； ③当30＜t≤30＋45即30＜t≤75时，∠CAN=[4(t-30)]°，若射线AC与BD 互相平行，则∠PBD=∠CAN，即t=4(t-30)， 解得：t=40； ④当30＋45＜t≤75＋45即75＜t≤120时， ∠CAN = [180×2-4(t-30)]°=（480-4t）°， 若射线AC与BD互相平行，则∠PBD=∠CAN，即t=480-4t， 解得：t=96； ⑤当120<t<180时，射线AC与BD不能互相平行； ⑥当t=180时，ACBD， 综上所述，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为0或40或96或180秒． 故答案为：0或40或96或180． 【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 3．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行． 【答案】30或110 【分析】设射线QC转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】设QC转动后与AB交于点M，PB转动后与CD交于点N， 当0＜t＜90时，如图1， ∵ABCD， ∴∠BPN=∠PNC， ∵PNMQ， ∴∠CQM=∠PNC， ∴∠CQM=∠BPN   ∴2t=1•（30+t）， 解得 t=30； ②当90＜t＜150时，如图2， ∵ABCD， ∴∠BPN+∠PND=180°， ∵PNQM， ∴∠MQD=∠PND ∴∠BPN+∠MQD=180° ∴1•（30+t）+（2t-180）=180， 解得  t=110， 综上所述，射线QC转动30或110秒，两射线互相平行； 故答案为：30或110． 【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． 4．有一道题目“一副直角三角尺如