专题03 平行线之猪手图和子弹图-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题03 平行线之猪手图和子弹图 【模型讲解】 请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//．∴（   ）．（     ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）．∴．∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 解：（1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°． 【模型演练】 1．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度． 【答案】20 【分析】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 【详解】解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 2．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______． 【答案】y=90°-x+z． 【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可． 【详解】解：作CG//AB，DH//EF， ∵AB//EF， ∴AB//CG//HD//EF， ∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z ∵∠BCD＝90° ∴∠1+∠2=90°， ∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2， ∵∠2=90°-∠1=90°-∠x， ∴∠y=∠z+90°-∠x． 即y=90°-x+z． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 3．在图中，，与又有何关系？ 【答案】 【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导． 【详解】分别过，，作的平行线， 则，，，， ， 即，． 【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明． 4．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)；理由见详解 【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故； （2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：，利用三角形内角和是180°，可得． （1） 解：如图：过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2） 解：，理由如下： 如图：过点作， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用． 5．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量