专题12 8字型中的角平分线综合问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题12 8字型中的角平分线综合问题 【例题讲解】 图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B， （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°； （4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2② ①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， ∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴2∠P＝∠D+∠B． 【综合演练】 1．（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，G，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________； （2）在图2中，共有______个“X型”； （3）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______； （4）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________． 【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）35°；（4）α+β． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠B=∠C+∠D； （2）根据“X型”的定义，仔细观察图形即可得出“X型”共有6个； （3）先根据“X型”中的角的规律，可得∠BAE+∠B=∠E+∠ECB①，∠ECD+∠D=∠EAD+∠E②，再根据角平分线的定义，得出∠BAE=∠EAD，∠BCE=∠ECD，将①+②，可得2∠E=∠D+∠B，进而求出∠E的度数； （4）同（3），根据“X型”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠AEC=α+β． 【详解】（1）∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B； （2）①线段AD、CB相交于点O，形成“X型”； ②线段AG、CF相交于点O，形成“X型”； ③线段AD、CE相交于点G，形成“X型”； ④线段AD、CF相交于点O，形成“X型”； ⑤线段AE、CB相交于点F，形成“X型”； ⑥线段AG、CB相交于点O，形成“X型”； 故“X型”共有6个； 故答案为：6． （3）∠BAE+∠B=∠E+∠ECB，① ∠ECD+∠D=∠EAD+∠E，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E， ∴∠DAE=∠EAB，∠DCE=∠ECB， ①+②得： ∠BAE+∠B +∠ECD+∠D =∠E+∠ECB +∠EAD+∠E， 即2∠E=∠D+∠B， 又∵∠D=40°，∠B=30°， ∴2∠E=40°+30°=70°， ∴∠AEC=35°； 故答案为：35°； （4）由（3）知：2∠E=∠D+∠B． ∵∠D=α，∠B=β， ∴2∠E=α+β． 故答案为：α+β． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“X型”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“X型”；（3）（4）直接运用“X型”中的角的规律解题． 2．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间