第五单元 第22讲 正方形（精练word）- 2023中考数学系统总复习

第22讲 正方形 A组 基础达标 1.（2022·山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（       ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 2.（2021·江苏泰州中考）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则 为（　　） A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α 3.（2022·湖南邵阳）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 4.（2021·湖南衡阳中考）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． B 提高训练 5.（2021·黑龙江省龙东地区（农垦森工）中考）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 6．（2021·广东深圳中考）在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 正方形 1.【答案】D 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；故选：D． 2.【答案】B 【分析】 根据题意可得 ，从而 即可． 【详解】 ∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形， ∴AP=CP，PF=PB，， ∴， ∴∠AFP=∠CBP， 又∵ ， ∴， 故选：B． 3.【答案】证明过程见解析 【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形． 【详解】证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD， 又∵ BE=DF ∴ OB-BE=OD-DF 即OE=OF ∵OE=OA ∴OA=OC=OE=OF且AC=EF 又∵AC⊥EF ∴ 四边形DEBF是正方形 4.【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17 【分析】 （1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形； （2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长． 【详解】 解：（1）四边形是正方形，理由如下： 根据旋转： ∵四边形是正方形 ∴∠DAB=90° ∴∠FAE＝∠DAB=90° ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形． （2）连接 ∵， 在中， ∵四边形是正方形 ∴ 在中，，又， ∴． 故答案是17． ． 5.【答案】C 【分析】 由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴，则， ∵OF∥BE， ∴△DGF∽△DCE， ∴， ∴，故①正确； ∴点G是CD的中点， ∴OG⊥CD， ∵∠ODC=45°， ∴△DOC是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示： ∵点F是CD的中点， ∴CF=DF， ∴∠CDE=∠DCF， ∴， 设，则， 在Rt△DHC中，， 解得：， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤； 故选C． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 6．【答案】B 【分析】 解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解； ②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解； ③中先证明GECM，得到即可求解； ④中由得到，再由即可求解． 【详解】 解：①∵， ∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF， ∴∠GFB=∠EDC， ∵ABCD为正方形，E是BC的中点， ∴BC=CD