第五单元 第20讲 菱形（精讲Word）- 2023中考数学系统总复习

第20讲 菱形 一.知识回顾 知识点1：菱形的性质 1.边：对边平行，四条边都相等 2.角：对角相等 3.对角线： 4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在直线就是对称轴 知识点2：菱形的判定 1. 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3. 四条边都相等的四边形是菱形 知识点3：四边形、平行四边形、菱形之间的关系 知识点4：菱形面积求法 1. 由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积也可以表示为（表示菱形的边长，表示此边上的高） 2. 由于菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积可以用对角线乘积的一半来表示. 二. 命题点1 菱形的相关证明与计算 例1.（2020安顺）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图所示，根据题意得AO＝，BO＝， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB＝， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B． 练习1.（2020遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可． 【详解】解：记AC与BD的交点为， 菱形, 菱形的面积 菱形的面积 故选D． 练习2.（2021贵阳）（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　　． 【分析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC＝90°，OC＝OA， ∵点B的坐标是（0，1）， ∴OB＝1， 在直角三角形BOC中，BC＝， ∴OC＝＝2， ∴点C的坐标（﹣2，0）， ∵OA与OC关于原点对称， ∴点A的坐标（2，0）． 故答案为：（2，0）． 三 课堂小测 1.下列命题点不正确的是（　　） A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形 B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】 选项A,B,D正确.选项C,例如下图,满足条件 不是菱形.所以选D. 2.（2022·四川自贡）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， ∴A、C坐标关于原点对称，∴C的坐标为，故选C． 3.（2022·甘肃武威）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm． 【答案】8 【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可． 【详解】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4， ，，AO=OC=AC=2 ， ， ， 故答案为：8． 4.（2020·福建省三明市九年级（二检））如图，在菱形ABCD中，CE⊥AD于点E，cosD= ，AE=4，则AC的长为（　 ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三角函数、勾股定理和菱形的性质解答即可． 【详解】 ∵CE⊥AD于点E，cosD=， ∴cosD==， 设DE=，CD=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AD=， ∴DE+AE=AD，即， ∴，则DE=，CD=， 在Rt△EDC中， ∵，即， ∴， 在Rt△EAC中， ∵，即， 解得． 故选：B． 5.（2022·浙江舟山）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充，见解析 【分析】赞成小洁的说法，补充：，由四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】赞成小洁的说法，补充：． 证明：，， ，． 又∵．∴， ∴四边形是菱形． （2020黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）