第四单元 第18讲 锐角三角函数及其实际应用（精讲Word）- 2023中考数学系统总复习

第18讲 锐角三角函数及其实际应用 一.知识回顾 知识点1：锐角三角形 锐角三角形函数的定义 在中，，，，的对边分别为，，。 的正弦： 的余弦： 的正切： 互余两角的三角函数关系 若则 知识点2：特殊角的三角函数值 1. 图表记忆 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2. 规律记忆 30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，； 30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。 知识点3：解直角三角形的常用关系 1. 常见关系 三边关系 （勾股定理） 两锐角间关系 边角关系 面积关系 解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。 知识点4：解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 2. 测量物体高度的常见三角形模型 （1）利用水平距离测量物体的高度（） （2）测量底部可以到达的物体的高度（） （3）测量底部不可达到的物体的高度（） 二.真题分层与拓展 命题点1 直角三角形的边角关系 例1.（2022·天津）的值等于（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图： ∴∠B=90°-45°=45°， ∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∴根据正切定义，， ∵∠A=45°，∴，故选 B． 练习1.（2022·广西贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， 设，则， 在中，, 在中，, ∴，解得， ∴，故选：C． 练习2.（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵，∴， ∵直角中，，∴， ∴直角中，由勾股定理可得，．故选D． 命题点2.锐角三角函数的实际应用 例2.（2021黔西南州）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是___m． 【答案】100 【解析】 【分析】过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AH=CD，再解Rt△ABH，求出BH的长，然后根据BC=AD-BH即可得到这栋楼的高度． 【详解】解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°，AD＝150m， ∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m）， ∴AH＝CD＝50m． 在Rt△ABH中， ∵∠BAH＝30°，AH＝50m， ∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m）， ∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m）， 答：这栋楼的高度为100m． 故答案为：100． 练习1.（2022.毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用坡度定义得出的长，再利用勾股定理得出的长． 【详解】∵，， ∴， 解得：， 则． 故选：A． 练习2.（2022·湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方