模型13 全等三角形——倍长中线模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC） 证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE. 在△ADC和△EDB中 AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD ∴△CDA≌BDE ∴AC=EB 在△ABE中,由三角形三边关系可得AE<AB+BE, BE=AC AE=2AD 2AD< AB+AC AD＜（AB+AC） 有中点，可倍长，倍长之后8字现 间接倍长 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________． 3．（2022·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__． 1．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC） 证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE. 在△ADC和△EDB中 AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD ∴△CDA≌BDE ∴AC=EB 在△ABE中,由三角形三边关系可得AE<AB+BE, BE=AC AE=2AD 2AD< AB+AC AD＜（AB+AC） 有中点，可倍长，倍长之后8字现 间接倍长 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 【答案】B 【分析】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围． 【详解】 如图所示，延长AD到E，使，连接CE， AD是△ABC中BC边上的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系得： ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，得出，推出，再根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ， ， ∵在中，， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围