6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解和加、减运算的坐标表示-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解和加、减运算的坐标表示 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.会把向量正交分解； 2.会用坐标表示向量； 3.掌握平面向量加、减运算的坐标表示； 4.会用坐标求两向量的和、差； 1.数学抽象：向量的正交分解； 2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量； 3.数学运算：求向量的坐标； 4.数学抽象：平面向量的坐标的概念； 5.逻辑推理：平面向量加、减的坐标运算； 6.数学运算：求两个向量的和、差。 概念梳理 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。 (2)平面向量的坐标表示 ①基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底。 ②坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标。 ③坐标表示：a＝(x，y)。 ④特殊向量的坐标表示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)。 2．平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 【概念辨析】 平面向量坐标运算的推导 1.将坐标表示改写为正交基底的 分解式; 2. 在分解式的形式下进行平面向量 的加法、减法、数乘和数量积运算; 3. 将运算结果改写为坐标式; 4. 总结得出坐标运算公式. 注意： 1．向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关, 而与它们的具体位置无关. 2. 当向量确定以后, 向量的坐标就是唯一确定的, 因此向量在平移前后,其坐标不变. 3. 在求一个向量的坐标时, 可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标, 再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标. 回归教材 1. 在下列各小题中, 已知向量 的坐标, 分别求 的坐标: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【解析】(1) , . (2) , . (3) , . (4) , . 2. 在下列各小题中, 已知 两点的坐标, 分别求 的坐标: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【解析】(1) . (2) . (3) . (4) . 3. 若点 , 则 与 有什么位置关系? 证明你的猜想. 【解析】.证明: 由点 ,, 得 , 所以 , 所以 . 题型讲解 探究（一）平面向量的坐标表示 【典例1】已知边长为1的正方形 中, 与 轴正半轴成 角. 求点 和点 的坐标和 与 的坐标. 【解析】由三角函数的定义, 得 , , 所以 . 所以 . 所以 . 【方法总结】求向量坐标的方法 (1) 定义法: 根据平面向量坐标的定义得 , 其中 分别为与 轴、 轴方向相同的两个单位向量. (2) 平移法: 把向量的起点移至坐标原点, 终点坐标即为向量的坐标. (3) 求差法: 先求出这个向量的起点、终点坐标, 再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标. 【补充训练1】已知向量 在射线 上, 且起点为坐标原点 , 又 , 分别取与 轴, 轴正方向相同的两个单位向量 作为基底, 则向量 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【解析】由题意, 。 答案 A 【补充训练2】如图, 在边长为 1 的正方形 中, 与 轴正半轴成 角. 求点 的坐标和 的坐标 【解析】由题意知, 点 分别是与 轴正半轴成 的终边与单位圆的交点.设 . 由三角函数的定义, 得 , 【补充训练3】（多选）已知 , 则下面说法错误的是 A. 点的坐标是 B. 点的坐标是 C. 当 是原点时, 点的坐标是 D. 当 是原点时, 点的坐标是 【解析】由任一向量的坐标的定义可知. 当 点是原点时, 点的坐标是 . 故 D 项说法 正确.故选ABC 【方法总结】在向量的坐标表示中, 一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标, 同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同. 探究（二）平面向量加、减运算的坐标表示 【典例2】若 三点的坐标分别为 , , 求 的坐标. 【解析】因为 , 所以 ； 【方法总结】