6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握向量数乘运算的坐标表示； 2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线； 1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示； 2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示； 3.数学运算：由向量共线求参数的值； 4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系； 5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 概念梳理 1. 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量 , 则有 , 这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐 标。 2. 平面向量共线的坐标表示 设 , 其中 ，向量 共线的充要条件是 。 3. 中点坐标公式 若 的坐标分别是 , 线段 的中点 的坐标为 , 则 此公式为线 段 的中点坐标公式。 4.定比分点坐标公式（拓展） (1) 线段定比分点的定义如图 6-3-38 所示, 设点是线段 上不同于 的点, 且满足 , 即 叫做点分有向线段 所成的比, 点叫做有向线段的以为定比的定比分点. (2) 定比分点的坐标表示 结论: 已知两点 , 在两点连线上有一点 , 设它的坐标为 , 且 , 则 . 即点 的坐标为 . 推导过程: 如图 6-3-38, 设点 是线段 上的一点, , , 那么 于是 , 即 , 于是, 点 的坐标为 . 【概念辨析】 向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的. 回归教材 1. 已知 , 求的坐标. 【解析】 2. 当为何值时, 与 共线? 【解析】由已知得 . 3. 若点 , 则与是否共线? 【解析】, 4. 求线段的中点坐标: (1) ; (2) ; (3) . 【解析】(1) 由 , 得线段的中点坐标为 . (2) 由, 得线段的中点坐标为 . (3) 由, 得线段的中点坐标为 . 5. 已知点, 向量, 点是线段的三等分点, 求点的坐标. 【解析】如图,点 是线段 的三等分点, 有两种情况, 即 或.当 时, , 即点 的坐标为 .当 时, ,即点的坐标为. 综上, 点是线段的三等分点时, 坐标为 或 . 题型讲解 探究（一）向量共线的判定 【典例1】已知 , 当为何值时, 与 平行? 平行时它们是同向还是反向? 【解析】 = , 因为 与 平行, 所以 , 解得 。 此 时 所以当 时, 与 平行, 并且反向。 【方法总结】向量共线的判定方法 方法一：利用向量共线定理，由 方法二：利用向量共线的坐标表达式直接求解 【补充训练1】下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. B. C. D. 【解析】中向量为零向量, 所以 中 , 所以 ,D 中 , 所以 。故选 B。 答案 B 【补充训练2】已知向量 , 若 , 则 实数 的值为 【解析】因为 , 所以 , 得 。 【补充训练3】（多选）已知向量, 则下列叙述中不正确 的是（ ） A. 存在实数 ,使 B. 存在实数, 使 C. 存在实数 , 使 D. 存在实数 , 使 【解析】只有 D正确, 可令 , 则 , 无论为何值, 都有 。故选ABC 【方法总结】向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行, 也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时, 也可以利用坐标对应成比例来求解. 若 , 则的充要条件为 , 不能表示成 , 因为有可能等于0 . 同时, 的充要条件也不能错记为 等. 探究（二）三点共线问题 【典例2】在直角梯形 中, , 过点 作 于点 为 的中点, 用向量的方法证明: (1) ; (2) 三点共线. 【证明】如图, 以 为坐标原点, 所在直线 为 轴, 所在直线为 轴建立平面直角坐标系. 令 , 则 . 四边形 为正方形. 各点的坐标分别为 , . (1) , , 三点不共线, . (2) 连接 为 的中点, 【方法总结】 三点共线的实质与证明步骤 (1) 实质: 三点共线问题的实质是向量共线问题. 两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的. (2) 证明步骤: 利用向量平行证明三点共线需分两步完成: (1)证明向量平行; (2) 证明两个向量有公共点. 【补充训练1】设 是坐标原点, , 当 三点共线时， 为何值（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】因为 , 又 三点共线,所以由两向量平行, 得 , 解得 或 .即当 或 时, 三点共线. 【补充训练2】 三点共线, ), 求=