第06讲 二项式定理-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第06讲 二项式定理 【题型归纳目录】 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 题型二：二项式之积 题型三：三项式及多项式展开问题 题型四：有关二项式系数的性质及计算的问题 题型五：利用赋值法进行求有关系数和 题型六：二项式定理的综合运用 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 知识点二、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 知识点三：二项式系数及其性质 1、的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法（的整数且） 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 知识点四：二项式定理的应用 1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． 2、利用赋值法进行求有关系数和． 3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． 4、证明有关的不等式问题． 5、进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 例1．（2022·吉林通化·高二期中）二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】二项式的展开式的项数为， 本题，所以. 故选：C. 例2．（2022·广东江门·高二期中）已知，则（    ） A．224 B． C． D．448 【答案】D 【解析】令，得， 则 可化为：， 二项展开式通项为： 所以 故选：D. 例3．（2022·全国·高二课时练习）展开式中的第三项为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，展开式通项为， 第三项有，则. 故选：D 变式1．（2022·四川广安·模拟预测（理））在的展开式中，常数项为（    ） A．-60 B．60 C．-240 D．240 【答案】D 【解析】由题知，展开式中第项， 令，得，所以展开式中常数项为. 故选：D 题型二：二项式之积 例4．（2022·黑龙江·汤原县高级中学高二期末）的展开式中项的系数为（　　） A． B． C．80 D．200 【答案】B 【解析】的展开式的通项为， 因为， 在中，令，得， 在中，令，得， 所以展开式中项的系数为. 故选：B. 例5．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）的展开式中的项系数为（    ） A．30 B．10 C．-30 D．-10 【答案】B 【解析】因为，的通项为： 令，则，令，则， 所以的系数为． 故选：B. 例6．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）若的展开式中的系数为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的展开式中的系数为，的系数为， 所以的展开式中的系数为， 由，得. 故选：C. 变式2．（2022·山东菏泽·高二期末）展开式中的系数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．230 【答案】A 【解析】，又中含的项为，中含的项为，故展开式中含的项为，故展开式中的系数为200 故选：A 变式3．（2022·河南驻马店·高二期末（理））的展开式中常数项为（    ） A．-384 B．-360 C．24 D．360 【答案】B 【解析】展开式的通项公式为， 展开式的通项公式为， 所以的展开式的通项公式为，其中. 要求的展开式中常数项，只需， 所以或， 所以常数项为. 故选：B 题型三：三项式及多项式展开问题 例7．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）在