第05讲 排列与组合-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第05讲 排列与组合 【题型归纳目录】 题型一：与排列数有关的运算 题型二：组合概念及组合数公式 题型三：排列的定义及其理解 题型四：组合的定义及其理解 题型五：位置分析法 题型六：相邻问题捆绑法 题型七：不相邻问题插空法 题型八：定序问题 题型九：分组分配问题 题型十：隔板法 题型十一：先选后排 题型十二：分堆问题 题型十三：间接法 题型十四：多面手问题 题型十五：几何问题 【知识点梳理】 知识点一、排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点二：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中n，m∈N+，且m≤n． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 知识点三：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点四：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 知识点五：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到． 知识点六：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（、，且） （2）（、，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点七：组合数的性质 性质1：（、，且） 性质2：（、，且） 知识点诠释： 规定：． 知识点八、组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 【典型例题】 题型一：与排列数有关的运算 例1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）_________． 【答案】0 【解析】根据排列数的计算公式，可得 . 故答案为：. 例2．（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）的值为________． 【答案】696 【解析】由已知可得，解得， 所以. 故答案为：696. 例3．（2022·北京大兴·高二期中）___________.（结果用数字作答） 【答案】6 【解析】 故答案为：. 变式1．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）（1）求证：； （2）求证：； （3）求和：． 【解析】（1）证明：． （2）证明：