第03讲 导数经典题型全归纳-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题03 导数经典题型全归纳 【题型归纳目录】 题型一：构造函数解不等式问题 题型二：单调性问题 题型三：极值问题 题型四：最值问题 题型五：切线问题 题型六：证明不等式 题型七：恒成立问题 题型八：能成立问题 题型九：零点问题与方程的根问题 题型十：双变量问题问题 题型十一：极值点偏移问题 【知识点梳理】 知识点1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 知识点2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 知识点3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 知识点4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 知识点5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】 题型一：构造函数解不等式问题 例1．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，∴， 令，∴在上单调递减， 又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减， ∵，∴， 当，即时，，∴； 当，即时，，∴，则. 故不等式的解集为. 故选：A. 例2．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为上的奇函数，则，所以. 原不等式可化为，即. 令，则， 故在上单调递减，且由所以. 故选：B. 例3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，构造函数， 则 因为不等式恒成立， 所以，即在上单调递增， 对于A选项，因为，即，即，故A选项错误 对于B选项，因为，即，即，故B选项正确 对于C选项，因为，即，即，故C选项错误 对于D选项，因为，即，即，故D选项错误 故选：B 例4．（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得关于成中心对称． 令，可得 当时，则在上单调递增. 由关于成中心对称且，故在上单调递增 由，