第12讲 成对数据的统计相关性-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第12讲 成对数据的统计相关性 【题型归纳目录】 题型一：相关关系的理解 题型二：散点图与相关性 题型三：散点图及其应用 题型四：线性相关性的检验 题型五：判断线性相关的强弱 【知识点梳理】 1、相关关系 两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 3、线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4、相关系数的计算 注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量 假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化"处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：． 【典型例题】 题型一：相关关系的理解 例1．（2022·全国·高二课时练习）下列两个变量间的关系，是相关关系的是（       ） A．任意实数和它的平方 B．圆半径和圆的周长 C．正多边形的边数和内角度数之和 D．天空中的云量和下雨 【答案】D 【解析】 对于ABC，两个变量之间为确定性关系，即两个变量之间均为函数关系，ABC错误； 对于D，根据生活经验，天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，虽然有云不一定下雨，但是如果没有云一定不下雨，说明它们之间是相关关系，D正确. 故选：D. 例2．（2022·全国·高二课时练习）有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是（       ） A．①③ B．②③ C．② D．③ 【答案】C 【解析】 ①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关关系； ②平均日学习时间和平均学习成绩是正相关关系； ③立方体的棱长和体积是函数关系，不是相关关系. 故选:C 题型二：散点图与相关性 例3．（2022·全国·高一课时练习）如下四个散点图中，正相关的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关； 对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关； 对于C、D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系； 故选：A. 例4．（2022·全国·高二单元测试（理））有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程＝－2.352x＋147.767，根据以上信息，判断下列结论中正确的是(　　) 摄氏温度 －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 A．气温与热饮的销售杯数之间成正相关 B．当天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮 C．当天气温为10℃时，这天恰卖出124杯热饮 D．由于x＝0时，的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性 【答案】B 【解析】 A. 气温与热饮的销售杯数之间成负相关，所以该选项错误； B.当x＝2时，y＝－2×2.352＋147.767＝143.063，即这一天大约可以卖出143杯热饮，所以该选项是正确的； C. 当天气温为10°C时，这天大约可以124杯热饮，所以该选项错误； D.不能根据x=0时， 的值与调查数据不符，判断气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性．所以该选项错误. 故选B 【点睛】 本题考查线性回归方程的应用，即根据所给出的线性回归方程，预报y的值，这是填空题中经常出现的一个问题，属于基础题． 题型三：散点图及其应用 例5．（2022·全国·高二课时练习）两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别. 表1 A 26 18 13 10 4 －1 B 20 24 34 38 50 64 表2 C 0 5 10 15 20 25 30 35 D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59