1.5一元二次方程（讲+练）-2023年中考数学一轮复习满分冲刺系列（全国通用）

1.5 一元二次方程 目录 知识梳理 1 核心考点归纳 3 考点1：一元二次方程的解 3 考点2：解一元二次方程 4 考点3：一元二次方程根的判别式 5 考点4：根与系数关系 5 考点5：一元二次方程在实际问题中的应用 6 易错点纠错 8 真题达标演练 8 一、一元二次方程的概念 1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2． 二、一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适合于或形式的方程． 2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． 2．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根； （3）当时，方程没有实数根． 3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，． 四、利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． 2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． 3．面积问题 （1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． （2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． （3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 4. 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场. ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠. ∴m= 考点1：一元二次方程的解 紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。 1. 是关于的一元二次方程的解，则　　 A． B． C． D． 2. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 3. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为　　 A． B．2 C． D．4 4. 已知为方程的根，那么的值为　　 A． B．0 C．2022 D．4044 5. 已知是关于的方程的一个根，则　　． 6. 若关于的一元二次方程的一个根是3，则　　． 7. 已知关于的一元二次方程有一个根为0，则　　． 考点2：解一元二次方程 一元二次方程的常见解法及适用情形： 一般形式： 直接开平方法 形如的方程，可直接开方求解，则， 因式分解法 可化为的方程，用因式分解法求解，则， 配方法 若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解 公式法 利用求根公式： 8. 一元二次方程的解是　　 A．， B． C． D．， 9. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　　 A． B． C．2 D． 10. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是　　 A． B． C． D． 11. 若与互为相反数，则的