第08讲 正弦定理和余弦定理5种常见题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第8讲 正弦定理和余弦定理5种常见题型 【考点分析】 考点一：三角形中常用知识 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 考点二：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 考点三：由正弦定理推出的几个结论 ①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． ② ③由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． ④A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论 ①， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， 考点五：三角形面积公式 S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B； 由正弦定理可得 海伦公式：，其中 三角形面积和内切圆半径的关系：（其中为三角形内切圆的半径） 【题型目录】 题型一：正弦定理运用 题型二：余弦定理运用 题型三：三角形面积公式运用 题型四：正弦定理解答题 题型五：余弦定理解答题 【典型例题】 题型一： 正弦定理运用 【例1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】解：因为，，， 由正弦定理得. 故选：B. 【例2】在△ABC中，已知，则其外接圆的直径为______. 【答案】4 【分析】设外接圆半径为，利用正弦定理即可求解. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以外接圆直径为， 故答案为：. 【例3】在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则　　． 【答案】 【解析】由正弦定理可得，即，所以 【例4】在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（    ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解. 【详解】∵：：：2：3，且， ∴，，，则， 故 故选： 【例5】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则B=___________. 【答案】 【解析】由正弦定理可得，可得，所以，即，因，所以，所以，因，所以 【例6】的内角、、的对边分别为、、．已知 ，，，则= A． B． C． D． 【答案】 【解析】由，可得，所以 ，即，因，所以，所以，因，所以，由正弦定理可得，即，所以，所以 【例7】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________． 【答案】， 【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而, ，，所以. . 【例8】在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知， 所以， 故选A. 【例9】的内角的对边分别为，若，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以. 【例10】在锐角三角形中，若，则的最小值是 . 【答案】8. 【解析】，又，因此 即最小值为8. 【题型专练】 1.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则　　． 【答案】 【解析】由，，可得，所以,由正弦定理可得，即，所以 2．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理进行化简，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可． 【详解】由正弦定理得， 则， 由， 得， 即 则， 即， 则，又在锐角△ABC中 则， 故选：B 3.在，内角所对的边长分别为．若，且，则= A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即 所以，所以，因，所以 故选A. 4.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【解析】由题意知，即 所以，所以 故选B 5.的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，即 所以，所以，所以 故选D 6.的内角,，的对边分别为，，，若，则 【答案】 【解析】由题意