第07讲 平面向量的奔驰定理与四心问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第7讲 平面向量的奔驰定理与四心问题 【考点分析】 考点一：三角形重心的概念及向量表示 ①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1． ②重心的向量表示：如图所示在中，为重心 证明：，所以 ③重心坐标公式，设，，，则△ABC的重心坐标为. 考点二：三角形垂心的概念及向量表示 ①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心． ②垂心的向量表示：如图所示在中，为重心 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以为重心 考点三：三角形内心的概念及向量表示 ①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心． ②内心的向量表示：如图所示在中，为重心且 考点四：三角形外心的概念及向量表示 ①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心． ②外心的向量表示：若为内一点，则为的外心. 考点五：奔驰定理 奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 考点六：三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【题型目录】 题型一：四心的向量表示 题型二：奔驰定理的应用 【典型例题】 题型一： 四心的向量表示 【例1】已知，，在所在的平面内，且，且，则，，分别是的　　 A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心 C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心 【例2】已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【例3】设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【例4】已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【例5】点为所在的平面内，给出下列关系式： ①； ②且； ③. 则点依次为的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 【例6】是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的　垂心　．（填外心或内心或重心或垂心） 【例7】点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是　①②③④⑤　（把你认为正确的序号全部写上）． ①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中； ③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中； ⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中． 【题型专练】 1.在中，非零向量、、满足，则点是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（多选题）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 6．设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的（    ） A．O为的外心 B．O为的重心 C．O为的垂心 D．O为的内心 7．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的　　 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的　重心　（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的　　．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 题型二：奔驰定理 【例1】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.