第06讲 平面向量等和线定理求系数和问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题 【考点分析】 考点一：平面向量等和线问题 ①平面向量共线定理 则三点共线，为直线外一点，则且三点共线。 ②平面向量等和线问题 如图：两点共线，若为直线外一点，为与平行的直线，若，点为上一点，若，则。 证明如下：因为与平行，所以，所以，所以 ，因为三点共线，所以，所以 ③利用等和线解题的步骤 第一步：确定系数和为的直线； 第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值； 第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值。 【典型例题】 题型一： 平面向量等和线求系数和问题 【例1】如图，在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系， 则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上， 设圆的半径为，，，，，， 圆的方程为，设点的坐标为，， ，，，，，， ，，，其中，∵，∴，故的最大值为3，故选． 法二：由等和线性质知：，所以当在如图所示位置时，取得最大值， 【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【例3】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 【详解】 解：由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 【例4】如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围. 【详解】 ∵，， 由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， ∴的取值范围为. 故选：D. 【例5】在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围. 【详解】 以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系. 则.不妨设. 因为，所以，解得：， 所以. 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 所以当时最大；当时最小. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【题型专练】 1.在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（       ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，利用坐标表示，结合三角函数最值的求法，求得的最大值. 【详解】 依题意在直角中，，， 以为原点建立如图所示平面直角坐标系， ，设是的中点，则. ，所以满足， 设（为参数，）， 依题意， 即， ， ，， 所以当时，取得最大值为. 故选：C 2.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】 【详解】 如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则 ，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 3.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量（m，n为实数），则m＋n的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据及得到，根据平面向量知识得到，利用可求出结果. 【详解】 在边长为的正六边形中，，， 所以，当且仅当与重合时，等号成立， 又，即，当时，是的延长线与圆的交点，此时，由可知，. 因为，且， 所以  ， 所以， 结合图形可知，，由，得，即，即