第05讲 极化恒等式和矩形大法-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第5讲 平面向量极化恒等式和矩形大法 【考点分析】 考点一：极化恒等式 极化恒等式: 证明：①；② 两式相减得： 特别地，如图在中，若为的中点，. A B C M 考点二：平面向量的矩形大法 如图：若四边形为矩形，为矩形所在平面内任一点，则。 证明： 所以。 【题型目录】 题型一：极化恒等式的应用 题型二：极化恒等式之矩形大法 【典型例题】 题型一： 平面向量的坐标运算 【例1】已知向量，满足，，则=（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】由平行四边形模拟得 【例2】如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ． 【答案】 【详解】（为的中点），因，所以，所以 【例3】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解. 【详解】 如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 【例4】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点，连接，，，应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得，即可求最小值. 【详解】 由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 故答案为： 【例5】已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解. 【详解】 由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1， 所以正六边形的内切圆的半径为， 外接圆的半径为， 又由 ， 因为，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【题型专练】 1.如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .    【答案】 【解析】 【分析】 首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可. 【详解】 在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即. ， 当时，取得最小值，此时， 所以. 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 2.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据为的中点，将用表示出来，然后利用向量运算法则，即可将问题转化为的最小值，即到线段的距离的平方． 【详解】 解：由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 故选：B． 3.已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（       ） A．16 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可. 【详解】 如图，延长到D，使得． 因为，所以点P在直线上． 取线段的中点O，连接， 则． 显然当时，取得最小值， 因为，则，所以， 所以的最小值为． 故选：C. 4.设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】 【分析】 取BC的中点D，设O为AB的中点，根据可得，从而可知，再由中位线定理可知，，即可解出． 【详解】 取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 5.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 【分析】 计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值. 【详解】 如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六