第02讲 平面向量的数量积及其应用4种题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第2讲 平面向量的数量积及其应用4种题型 【考点分析】 考点一：平面向量的数量积 ①平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积也叫内积． 记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 ②平面向量数量积的几何意义： 1.向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． 2.向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 3.的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 考点二：平面向量数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 考点三：平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，则 ① ②当与同向时，；当与反向时，． ③或． ④． ⑤． 【题型目录】 题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的模运算 题型三：平面向量的夹角运算 题型四：平面向量的投影 【典型例题】 题型一： 平面向量的数量积运算 【例1】如果是两个共线的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量相等的定义判断A，根据数量积的定义和性质判断B，C，D. 【详解】因为是单位向量，所以，，所以，，所以，D正确；由已知共线，所以的方向相同或相反； 当的方向相反时，，A错误；当的方向相反时，，B错误，C错误； 故选：D. 【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 【例3】已知向量，满足，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】向量，满足，，则，故选． 【例4】已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 【例5】在中，，则为（    ）. A．4 B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】对两边平方整理得，得，则即可计算 【详解】在中，， ，，， 又，. 故选：C. 【例6】在中，，，，则边上中线的长为_____. 【答案】 【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】因为， 所以 所以， 所以， 故答案为： 【例7】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________. 【答案】 【分析】将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案. 【详解】分别取的中点，连接， 因为为的外心， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【例8】在中，为重心，，，则=________. 【答案】 【分析】设中点为，根据向量线性表示可得，，然后根据向量数量积的运算律结合条件即得. 【详解】设中点为， 为的重心且， ，， 因为，， 所以. 故答案为：. 【例9】在中，，，．若，，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】，，则 ==，解得． 【例10】（2021新高考2卷）已知向量_______． 【答案】 【解析】方法一：因为，所以，即 所以，所以，所以 方法二：因为，所以，所以，即 所以，所以， 同理，所以，即，所以，所以， 同理，所以，即，所以，所以， 所以 【题型专练】 1.设向量与夹角的余弦值为，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律，结合数列的定义式，可得答案. 【详解】. 故选：B. 2.已知在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为的线性运算，再由数量积的运算律求解 【详解】由题意得，， 则， 故选：B 3.如果都是非零向量，则下列判断正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若同向，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的相关概念，结合数量积、模长的运算逐个分析判断. 【详解】若，则，但方向无法确定，A错误； ∵，则 ∴的夹角，即同向，则，B正确； 若，则 即，则，即，C正确； ∵，，则； 又∵，且同向，则同向 ∴，D正确； 故选：BCD. 4．在平行四边形中，，，若，则______. 【答案】 【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题. 【详解】因，则 又注意到，. 则=. 故答案为: 5．边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________． 【答案】2 【分析】以为基底，分别表示，再利用向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】， 故答案为：2 6．在中，是边上的中点，且，，，，则__________． 【答案】1 【分析】利用转化法得到，，再根据，，得到，联立得到，，然后求即可. 【详解】，同理可得，又，，所以，所以，，. 故答案为：1. 7.已知两个单位向量a，