专题3 微切口8 空间几何体的外接球-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（小基础版）

拉开差距 赢在中档题之高考微切口 微切口8　空间几何体的外接球 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学 1 1 长方体模型(补形) 1 【解析】 　　　　 由题知，四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球， 所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. B　 【解析】 　　　　 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体．若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上． 设球O的半经为R，则该长方体的体对角线长为2R， D　 　　　　四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD-MENF， 【解析】 A　 【解答】 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 因为长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R， 所以(2R)2＝a2＋b2＋c2⇒4R2＝29⇒S球＝4πR2＝29π. 29π　 2 直棱柱模型 2 【解析】 连接OB，则外接球的半径R＝OB，连接BD并延长交AC于点E， 【解析】 　　　　 设上、下底面三角形的外接圆的圆心为O1，O2， 则球心O在O1O2的中点处． 如图，设球的半径为R，底面三角形的外接圆的半径为r， 　　　　(1) (鳖臑模型)已知在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2BC＝4，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是________. 3 侧棱与底面垂直的棱锥 3 【解析】 因为PA⊥平面ABC， 36π　 【解析】 如图，设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，球心为O， 因为PA⊥底面ABC，且球心到点P，A的距离相等， 故该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝60π. 60π　 【解析】 B　 1．补成长方体 (1) 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图(1)所示． (2) 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图(2)所示． (4) 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图(4)所示． 总 结 提 升 2．如图(1)，图(2)，图(3)，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上、下底面可以是任意三角形) 总 结 提 升 总 结 提 升 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学 所以外接球O的半径R＝eq \f(1,2) eq \r(AB2＋AC2＋AD2)＝2， 　　　　(1) 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为(　　) A．64π B．16π C．4π D．π 即2R＝＝，从而S球O＝4πR2＝ π(2R)2＝5π. (2) (鳖臑模型)已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝1，AC＝BC＝，则球O的表面积为(　　) A．2π B．3π C．4π D．5π (3) 已知一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为(　　) A．π B．2π C．3π D．2π 则正方体GBCD-MENF的棱长GB＝eq \f(\r(2),2)BD＝eq \r(2)， 此正方体的体对角线长为eq \r(6)，正四面体BDMN与正方体GBCD-MENF有相同的外接球， 则正四面体BDMN的外接球的半径R＝， 所以正四面体BDMN的外接球的体积为V＝πR3＝π·3＝π. 变式　在三棱锥P-ABC中，已知PA＝BC＝2，PB＝AC＝，AB＝PC＝5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是________. 　　　　 由题意知PA＝BC＝2，PB＝AC＝，PC＝AB＝5， 将三棱锥P-ABC放到长方体中，得长方体的三条面对角线分别为2，，5. 则＝2，＝，＝5，解得a＝4，b＝2，c＝3. 　　　　 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中分别取△ABC，△A1B1C1的中心D，D1，取DD1的中点O，易知DD1⊥底面ABC且点O为该三棱柱的外接球的球心，易得OD＝eq \f(1,2)DD1＝eq \f(1,2)AA1＝2eq \r(2). 　　　　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB＝2，AA1＝4，则该球的表面积为(　　) A．40π B．32π C．10π D．48π 则E为AC的中点，所以BE＝AB×sin60°＝×2＝3， 故BD＝BE＝2. 易知OD⊥DB，由勾股定理得R＝＝2， 于是外接球的表面积S＝4π×(2)2＝