专题3 第14讲 立体几何中的计算问题(2)——二面角-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（小基础版）

专题三 立体几何 第14讲　立体几何中的计算问题(2)——二面角 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学 1 回归教材 【解析】 　　　　 如图(2)，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角． 设点H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上． 1．如图(1)，设三棱锥A－BCD的各棱长均为2，则二面角A－CD－B的余弦值为______. 图(1) 图(2) 激活思维 回归教材 图(1)　 激活思维 回归教材 【解答】 图(2)　 又因为平面PAB⊥平面PBC且交线为BP，所以AB⊥平面PBC. 又因为BC⊂平面PBC，所以AB⊥BC， 又AB⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PBC. 以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴、y轴，以过点B且垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图(2)， 激活思维 回归教材 图(2)　 易知平面BCP的一个法向量为n＝(1,0,0)， 激活思维 回归教材 1．二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 2．二面角的取值范围：[0°，180°]． 要点梳理 回归教材 举题固法 8 1 1 求二面角 【解析】 　　　　 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h， 图(1)　 分类引领 举题固法 1 图(1)　 分类引领 举题固法 【解析】 　　　　取A1B的中点E，连接AE，如图(2)，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B. 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC. 又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1， 所以BC，BA，BB1两两互相垂直， 以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图(2)． 图(2)　 分类引领 举题固法 则A(0,2,0)，A1(0,2,2)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，所以A1C的中点D(1,1,1)， 图(2)　 分类引领 举题固法 【解答】 　　　　 在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝2，由AD2＋AB2＝20＝BD2， 得AD⊥AB，即BC⊥CD. 因为平面PCD⊥底面ABCD，且平面PCD∩底面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，则BC⊥平面PCD. 又PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD. 图(1)　 分类引领 举题固法 【解答】 图(1)　 图(2)　 分类引领 举题固法 图(2)　  令x＝3，得n＝(3,0,2)．设平面PBC的法向量为m＝(x′，y′，z′)， 分类引领 举题固法 图(2)　 分类引领 举题固法 　　　　(2022·徐州考前模)如图(1)，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB⊥AD，BC⊥CD，O为BD的中点，AB＝AD，BD＝2CD＝2. (1) 求证：OA⊥平面BCD； 2 2 已知二面角求参数 【解答】 　　　　 在△ABD中，因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD. 又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， 所以OA⊥平面BCD. 图(1) 分类引领 举题固法 2 　　　　(2022·徐州考前模)如图(1)，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB⊥AD，BC⊥CD，O为BD的中点，AB＝AD，BD＝2CD＝2. 图(1) 分类引领 举题固法 【解答】 图(2) 分类引领 举题固法 图(2) 分类引领 举题固法 变式　(2022·苏北四市一调)如图(1)，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1，A1B⊥B1C. (1) 求证：AB⊥AC； 图(1) 分类引领 举题固法 【解答】 　　　　 在直三棱柱ABC－ABC1中，AA1⊥平面ABC. 又AB，AC⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 又AB＝AA1，所以四边形ABB1A1是正方形． 如图(2)，连接AB1，则AB1⊥A1B.又A1B⊥B1C，AB1∩B1C ＝B1，AB1，B1C⊂平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C. 又AC⊂平面ABC，所以A1B⊥AC. 因为AA1⊥AC，A1B∩AA1＝A1，A1B，AA1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1.又AB⊂平面ABB1A，所以AB⊥AC. 图(21) 分类引领 举题固法 【解答】 变式　(2022·苏北四市一