专题2 第8讲 数列的递推关系及等差、等比数列的判定-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（小基础版）

专题二 数　列 第8讲　数列的递推关系及等差、等比数列的判定 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学 1 回归教材 【解析】 　　 　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1； 当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1. 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________________ 激活思维 回归教材 【解析】 2．(2020·全国Ⅱ卷)在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 激活思维 回归教材 C　 【解析】 激活思维 回归教材 【解答】 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋1＝2an＋1，且a1＋2a2＝a3，求数列{an}的通项公式． 激活思维 回归教材 因为a1＋2a2＝a3，a3＝2a2＋1，所以a1＝1，a1＋1＝2， 则数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2n，an＝2n－1. 1．形如an－an－1＝f(n)(n∈N*且n≥2) 方法：累加法，即当n∈N*，n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1. 要点梳理 回归教材 注意：n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验． 3．形如an＝pan－1＋q(p≠0，p≠1，n∈N*且n≥2) 要点梳理 回归教材 要点梳理 回归教材 举题固法 10 　　 　(1) 记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 分类引领 1 1 举题固法 由Sn与an的递推关系求通项公式 【解析】 　　 　　Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2an＋1①， 当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1②， 由①－②可得an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1， －63　 分类引领 举题固法 【解析】 所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1. (－2)n－1　 分类引领 2 2 举题固法 运用累加或累乘法求数列的通项 【解析】 分类引领 举题固法 分类引领 举题固法 【解析】 分类引领 举题固法 【解答】 分类引领 举题固法 【解答】 　　 　(1) 在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 分类引领 3 3 举题固法 构造等差、等比数列研究通项 【解答】 　　 　　方法一：因为an＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＋1＝2(an－1＋1)． 又因为a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1. 方法二：因为an＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＋1＝2an＋1， 两式相减得an＋1－an＝2(an－an－1)(n≥2)， 故数列{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n， 则an－an－1＝2n－1，…，a2－a1＝21， 则由累加法得an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1 分类引领 举题固法 (2) 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋1＝4an，n∈N*，且a1＝4.证明：{an＋1－2an}是等比数列，并求{an}的通项公式． 分类引领 举题固法 　　 　　当n≥2时，因为Sn＋1＝4an，所以Sn＝4an－1， 两式相减得an＋1＝4an－4an－1，所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)． 当n＝1时，因为Sn＋1＝4an，所以S2＝4a1，又a1＝4，所以a2＝12， 于是a2－2a1＝4，所以{an＋1－2an}是以4为首项，2为公比的等比数列， 【解答】 分类引领 举题固法 【解析】 A　 课堂评价 举题固法 1.8　 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 22 【解析】 课堂评价 举题固法 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 课堂评价 举题固法 2．(2022·临沂期末)设数列{an}满足a1＝1，a2＝3且an＋2－2an＋1＋an＝2，则a4－a3＝_____，数列{an}的通项公式an＝_____________. 【解析】 　　 　　由题意，数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝2，设bn＝an＋1－an， 则bn＋1－bn＝2，且b1＝3－1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，所以bn＝2n，即an＋1－an＝2n，于是a4－a3＝b3＝6. 当n≥2时，可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋2