第01讲 平面向量的概念及线性运算4种题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型 【考点分析】 考点一：向量的基本概念 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量． ⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 考点三：向量共线定理 ①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论： ②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ③向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且 ④，． 【题型目录】 题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】 题型一： 平面向量的概念 【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对②：零向量的长度为0，故②正确； 对③：零向量的方向是任意的，故③正确； 对④：单位向量的模都等于1，故④正确. 故选：C. 【例2】下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】A 【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决. 【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误； 两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误； 与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误. 故选：A 【例3】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B. 【例4】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则＝||；②若与平行，则＝||；③若与平行且||＝1，则＝．上述命题中，假命题的个数是 A．0 B．1　　 C．2　　 　 D．3 【答案】D 【详解】单位向量的模为1，方向可以是不同方向，所以①错 ；若与平行，则两个向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以②错；③错因此选D 【例5】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A． 【例6】下面关于向量的说法正确的是（    ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量，零向量没有方向 C．平行共线向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相