专题3 微切口2 多面体的外接球(2)-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题三 立体几何 闯关夺隘——稳住中档题之高考微切口 微切口2　多面体的外接球(2) 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 锥体的外接球 1 【解析】 1 (例1(1)) 故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. 3π　 如图(2)，取BC的中点D，连接PD，连接AD并延长至点O1，使DO1＝AD，连接BO1，CO1，PO1，则四边形ABO1C为平行四边形，而AB＝AC＝1，所以 □ABO1C是菱形． 【解析】 (例1(2)) 因为PA＝PB＝PC，D为BC的中点，所以PD⊥BC，又AO1⊥BC，PD∩AO1＝D，PD，AO1⊂平面PAO1，从而有BC⊥平面PAO1，PO1⊥BC，易得PO1⊥AC，而AC∩BC＝C，从而得PO1⊥平面ABC. 由球的截面小圆性质知，三棱锥P-ABC的外接球球心O在直线PO1上． 设外接球O的半径为R，则OB＝OP＝R，OO1＝|R－2|. 变式　 【解析】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积为______． 柱体的外接球 2 设直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC外接圆的半径为r，直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为R，如图，所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点． 【解析】 8π　 2 变式　 【解析】 D　 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×4＝16π. 求圆柱的外接球半径，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径； 求圆锥的外接球半径，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心； 求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可； 求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，再将直外接圆柱作出，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可； 求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可． 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝. 在Rt△OO1B中，R2＝(PO1－R)2＋r2，即R2＝(2r－R)2＋r2， 解得r＝1， (1) 已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为____． 如图(1)，设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r. (2) 已知三棱锥P-ABC的体积为，且PA＝PB＝PC，AB＝AC＝1，BC＝，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为_____． 在△ABC中，BC＝，由余弦定理有cos ∠BAC＝＝－，即∠BAC＝120°，则∠ABO1＝60°，△ABO1是正三角形，O1A＝O1B＝O1C＝1，所以O1是△ABC外接圆的圆心． 又S△ABC＝AB·AC sin 120°＝，则VP-ABC＝PO1·S△ABC＝，解得PO1＝2. 在Rt△OO1B中，O1B2＋O1O2＝OB2，即1＋(R－2)2＝R2，解得R＝， 则外接球O的表面积为S＝4πR2＝. (2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 当且仅当＝1－，即a2＝时，等号成立，此时h＝＝＝. 如图，设四棱锥的高为h，底面四边形ABCD所在圆的半径为r，四边形ABCD对角线的夹角为α，则S四边形ABCD＝AC·BD·sin α≤AC·BD≤·2r·2r＝2r2，当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立． 设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则 r＝a，所以h＝， 所以VO-ABCD＝a2＝≥＝， 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，所以由余弦定理得cos 120°＝＝－，所以BC＝，所以由正弦定理得2r＝＝2，所以r＝1. 在Rt△OMC中，OC＝R，OM＝AA1＝1，MC＝r＝1，所以 R2＝12＋12＝2，所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为4πR2＝8π. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1的面积为4，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为(　　) A. 4π B. 8π C. 8π D. 16π 设BC＝a，CC1＝b，则ab＝4. 设底面三角形外接圆的半径为r，则＝2r，所以r＝a， 所