专题2 微切口3 子数列-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题二 数列 闯关夺隘——稳住中档题之高考微切口 微切口3　子数列 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） (2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为___________． 两个数列相同的项构成的数列 1 方法一：数列{2n－1}的项依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…，数列{3n－2}的项依次是1，4，7，10，13，16，19，…， 所以不难发现，它们公共项从小到大排列得到的新数列{an}的项依次是1，7，13，19，…， 即是以1为首项，6为公差的等差数列，故数列{an}的前n项和为3n2－2n. 方法二：当确定首项为1后，1＋6＝2×4－1且1＋6＝3×3－2，说明7是公共项． 一般地1＋6k＝2×(3k＋1)－1且1＋6k＝3×(2k＋1)－2，说明1＋6k是公共项，即{an}是以1为首项，6为公差的等差数列，故数列{an}的前n项和为3n2－2n. 【解析】 1 3n2－2n　 方法三：由数列{d1n－t1}与{d2n－t2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，若首项为a1，d1，d2的最小公倍数为d，则其通项公式an＝a1＋d(n－1)， 即此时an＝1＋6(n－1)＝6n－5，故数列{an}的前n项和为3n2－2n. 变式　 【解析】 an＝32n+1(n∈N*)　 方法二：设bn＝3n，我们只需要在找出首项a1＝b3＝33后，假设bk＝3k是数列{4n＋3}中的第t项，即3k＝4t＋3， 因为bk＋1＝3k+1＝3×3k＝3(4t＋3)＝4(3t＋2)＋1，故bk＋1不是数列{4n＋3}中的项； 因为bk＋2＝3k+2＝9×3k＝9(4t＋3)＝4(9t＋6)＋3，故bk＋2是数列{4n＋3}中的项． 故有a1＝b3，a2＝b5，…，an＝b2n＋1，…，故数列{an}的通项公式是an＝32n+1(n∈N*). (2022·江苏二模)已知数列{an}，当n∈[2k-1，2k)时，an＝2k，k∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn. (1) 求a2，a20的值； 分段数列问题 2 当n∈[2k-1，2k)时，an＝2k，k∈N*，而2∈[22-1，22)，则a2＝22＝4， 又20∈[25-1，25)，则a20＝25＝32，所以a2＝4，a20＝32. 【解答】 2 (2) 求使得Sn<2 022成立的正整数n的最大值． 当n∈[2k-1，2k)时，an＝2k，k∈N*， 当n∈[20，21)时，a1＝21， 当n∈[21，22)时，a2＝a3＝22， 当n∈[22，23)时，a4＝a5＝…＝a7＝23， 当n∈[23，24)时，a8＝a9＝…＝a15＝24， 当n∈[24，25)时，a16＝a17＝…＝a31＝25， 当n∈[25，26)时，a32＝a33＝…＝a63＝26， 而S31＝21＋2×22＋4×23＋8×24＋16×25＝2＋23＋25＋27＋29＝682， 又S63＝21＋2×22＋4×23＋8×24＋16×25＋32×26 ＝2＋23＋25＋27＋29＋211>2 022，则有Sn<2 022时，31<n<63. 【解答】 而n∈N*，于是得nmax＝51，所以使得Sn<2 022成立的正整数n的最大值是51. (2022·江苏二模)已知数列{an}，当n∈[2k-1，2k)时，an＝2k，k∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn. 2 变式　(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. 由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b1对应的区间为(0，1]，则b1＝0； b2，b3对应的区间分别为(0，2]，(0，3]，则b2＝b3＝1，即有2个1； b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0，4]，(0，5]，(0，6]，(0，7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2； b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0，8]，(0，9]，…，(0，15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3； b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0，16]，(0，17]，…，(0，31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4； b32，b33，…，b63对应的