专题2 微切口2 数列的奇、偶项问题-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题二 数列 闯关夺隘——稳住中档题之高考微切口 微切口2　数列的奇、偶项问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 分段递推情境 1 【解答】 1 【解答】 1 变式　设数列{an}的前n项和为Sn，2(Sn－n＋2)＝an＋1，a2＝10，bn＝an－1. (1) 求证：{bn}是等比数列； 对任意的n∈N*，2Sn＝an＋1＋2n－4， 当n＝1时，则有2a1＝a2－2＝8，解得a1＝4； 当n≥2时，由2Sn＝an＋1＋2n－4可得2Sn－1＝an＋2n－6， 两式作差得2an＝an＋1－an＋2，所以an＋1＝3an－2， 则an＋1－1＝3(an－1)，所以bn＋1＝3bn. 【解答】 故数列{bn}是等比数列，且首项和公比均为3. 【解答】 (2022·鄂州期末)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n；数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝1，2Sn＝bn＋1－1. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； 和数列与积数列 2 因为an＋an＋1＝2n，当n≥2时，an－1＋an＝2(n－1)，所以an＋1－an－1＝2. 【解答】 2 所以an＝n－1. 因为2Sn＝bn＋1－1，所以n≥2时，2Sn－1＝bn－1，所以2bn＝bn＋1－bn，即bn＋1＝3bn， 又b2＝2b1＋1＝3b1，也满足上式，所以bn＝3n-1. 【解答】 T2n＝[1×30＋3×32＋5×34＋…＋(2n－1)·32n-2]＋[1×31＋3×33＋5×35＋…＋(2n－1)·32n-1]＝4[1×30＋3×32＋5×34＋…＋(2n－1)·32n-2]. 设Kn＝1×30＋3×32＋5×34＋…＋(2n－1)·32n-2　①， 则9Kn＝1×32＋3×34＋5×36＋…＋(2n－1)·32n　②， 2 变式　(2022·肥城二模)已知数列{an}满足a1＝1，an·an＋1＝9n，n∈N*. (1) 求数列{an}的通项公式； 由题意，当n＝1时，a1a2＝9，可得a2＝9. 【解答】 当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*)，则an＝a2k－1＝1·9k-1＝32k-2＝3n-1； 当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*)，则an＝a2k＝9·9k-1＝9k＝32k＝3n. 【解答】 所以S2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝[0－2－4－…－(2n－2)]＋(32＋34＋36＋…＋32n)－n 变式 已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝3an－9. (1) 求数列{an}的通项公式； 含有(－1)n递推情境 3 当n＝1时，2S1＝3a1－9，因为S1＝a1，所以2a1＝3a1－9，所以a1＝9. 因为2Sn＝3an－9，所以2Sn＋1＝3an＋1－9，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an， 即an＋1＝3an. 又因为a1＝9，所以an>0，所以数列{an}是以9为首项，3为公比的等比数列，所以an＝9×3n-1＝3n+1. 【解答】 3 (2) 若bn＝(－1)nlog3an，求数列{bn}的前n项和Tn. 由(1)可知bn＝(－1)nlog3an＝(－1)n(n＋1)， 【解答】 3 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 由①－②，得＝－＝，故an＝2－n， 当n＝1时，a1＝2－1＝1也符合，所以数列{an}的通项公式为an＝2－n. (2022·潍坊一模)已知数列{an}满足＋＋…＋＝. (1) 求数列{an}的通项公式； 当n＝1时，＝，解得a1＝1； 当n≥2时，＋＋…＋＝　①，＋＋…＋＝　②， (2) 令bn＝求数列{bn}的前n项和Sn. 由(1)知bn＝ 当n为偶数时，Sn＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋2－(n－1)]＋(20＋2-2＋…＋22-n) ＝＋＝＋＝－； 当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－bn＋1＝－－21-n ＝－. 综上所述，Sn＝ 又b1＝a1－1＝3，b2＝a2－1＝3b1，故＝3， ＝＋ (2) 设cn＝求数列的前n项和Tn. 由(1)知bn＝3n，所以log3bn＝n，从而cn＝ 当n＝2k，k∈N*时，T2k＝31＋＋33＋＋…＋32k-1＋ ＝(3＋33＋…＋32k-1)＋ ＝＋， ＝＋× ＝＋， 此时Tn＝＋＝＋； 当n＝2k－1，k∈N*时，T2k－1＝T2k－c2k＝＋－ 此时Tn＝＋＝＋.