专题2 微切口1 裂项相消问题新视角-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题二 数列 闯关夺隘——稳住中档题之高考微切口 微切口1　裂项相消问题新视角 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） (2022·邢台一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝18，a7＝9. (1) 求数列{an}的通项公式； 指数型裂项相消 1 设等差数列{an}的公差为d，由S4＝18，a7＝9， 【解答】 1 log2(bn＋1)＝n＋2，所以bn＋1＝2n+2，即bn＝2n+2－1， 【解答】 1 变式　 【解答】 因为an>0，于是an－an－1＝1，则数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n. 依题意，b1＝a1＝1，bn＝qn-1，又b2b6＝64，则b2b6＝q6＝64，又q>1，解得q＝2，所以bn＝2n-1. 【解答】 变式　 (2022·郴州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且Sn＋1＝2＋2Sn(n≥1)，{bn}是公差不为0的等差数列，且b1，b2，b4成等比数列，a2，b10，a4成等差数列． (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； 累加求和型 2 2 【解答】 由S1＝a1＝2，代入Sn＋1＝2＋2Sn，可得S2＝6，a2＝4，满足a2＝2a1，所以an＋1＝2an，n∈N*，{an}为等比数列，所以an＝2n. 【解答】 所以T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n 2 变式　(2022·临川一模)已知数列{an}中，an>0，a1＝1，Sn为其前n项和，且满足(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝1(n≥2). (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 【解答】 变式 转化为裂项的放缩结构 3 【解答】 3 又an>0，故an＋1－an＝2n＋1，则an－an－1＝2n－1(n≥2)， 所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2， 当n＝1时，a1＝1也满足此式，所以an＝n2. 【解答】 3 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2) 设an＝log2(bn＋1)，求数列的前n项和Tn. 所以＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋ ＝＝，故Tn＝－. (2022·武汉5月调研)记正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足对任意正整数n，a，Sn，an构成等差数列．等比数列{bn}的公比q>1，b1＝a1，b2b6＝64. (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； 依题意得2Sn＝a＋an，an>0，当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1，两式相减得2an＝an－an－1＋a－a，即an＋an－1＝a－a＝(an＋an－1)(an－an－1). (2) 设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 由(1)知cn＝＝－， Tn＝＋＋＋…＋＋， 所以Tn＝－－＋＋＝－2. 当n≥2时，由两式相减可得an＋1＝2an(n≥2). 设等差数列{bn}的公差为d，由条件可得b＝b1b4，2b10＝a2＋a4， 即解得b1＝1，d＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n. (2) 若cn＝(－1)n+1，求{cn}的前2n项和T2n. 由(1)知cn＝(－1)n+1×＝(－1)n+1×， ＝－＋＋…－＝1－＝. 由题可知S－S＝1(n≥2)，故数列是等差数列，所以S＝S＋(n－1)＝n，又an>0，所以Sn＝， 从而an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2). 又因为a1＝－＝1也满足此式，所以an＝－. (2) 设bn＝(－1)n·，求数列{bn}的前n项和Tn. 由(1)知bn＝＝＝(－1)n·(＋)， 所以Tn＝－－＋＋－－＋＋＋…＋(－1)n(＋) ＝(－1)n. (2022·唐山二模)已知正项数列{an}满足a1＝1，a－(2n＋1)an＋1＝a＋(2n＋1)an. (1) 求数列{an}的通项公式； 由已知得a－a－(2n＋1)(an＋1＋an)＝0， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2n－1)＝0. 综上所述，Tn<2. 方法二：＝<＝＝2， 故Tn＝＋＋＋…＋<2 ＝2<2. (2) 设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<2. 方法一：当n≥2时，<＝－， 故Tn＝＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝2－<2. 当n＝1时，T1＝＝1<2. 常见的裂项技巧 (1) 无理型：＝(－). (2) 指数型：＝－