专题1 微切口1 平面向量数量积的求解策略-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题一 三角函数、解三角形与平面向量 闯关夺隘——稳住中档题之高考微切口 微切口1　平面向量数量积的求解策略 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 几何意义法 1 【解析】 1 2　 (例1(1)) (例1(2)) 基底法 2 【解析】 22　 2 变式　 【解析】 C　 坐标法 3 3 (例3(1)) 【解析】 (例3(2)) 变式　 如图，分别以BC，BA所在边的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，直线AC的方程为x＋y－2＝0. 【解析】 (变式) 极化恒等式 4 4 【解析】 [－2，6]　 变式　 【解析】 9　 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 所以在方向上的投影向量为， 又AP＝1，易得AE＝2，所以·＝·＝2. 如图(1)，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，P为垂足， 且AP＝1，则·＝___． 如图(2)，延长AP，过C作AP的垂线CE，垂足为E， 又AD＝5，AB＝8，所以·＝2×＝22. 在□ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是____． (＋)·(＋)＝·＝2， 即·＝2，所以||2－·－||2＝2. 设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6 由题意得＝＋，＝－＝－＋， 所以·＝(4＋3)·(4－3) ＝(162－92)＝(16×36－9×16)＝9. 如图(1)，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为_____．(尝试坐标法和基底法两种策略) 因为＝＋2，所以－＝(－)－2， 解得＝＋， 故·＝(－)·＝·＝2－·＝－×2×3×cos 60°＝－1. (坐标法)如图(2)，以A为原点，AC为x轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，)，C(3，0)， 设P(x，y).由＝＋2，得(x－3，y)＝(1－x，－y) ＋2(－x，－y)， 解得x＝1，y＝，所以P，·＝· (1，)＝－2＋1＝－1. (基底法) 　 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上两个动点，且满足MN＝，则·的取值范围为________. 设M(t，2－t)，则N(t＋1，1－t)，且0≤t≤1，所以＝(t，2－t)，＝(t＋1，1－t)， 所以·＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝22＋，由于0≤t≤1，所以当t＝时，·取最小值，t＝0或t＝1时，·取最大值2. 故·∈. 极化恒等式：a·b＝2－2，特别地，在△ABC中，若D是BC的中点，则·＝2－2. 当P在CO的延长线与圆O的交点处时，||min＝1，所以·∈[－2，6]. 已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是____________． 取AB的中点D，连接CD(图略)，因为△ABC为正三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2. 由极化恒等式得·＝||2－||2＝||2－3. 因为P在圆O上，所以当P在点C处时，||max＝3， 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·的值是___． 因为·＝2－2＝9－2＝－7，所以2＝16， 所以·＝2－2＝25－16＝9. 两向量数量积的求解策略 (1) 当已知两个向量的模长和夹角时，可以直接利用数量积的定义式求解数量积． (2) 当一个向量的模长为定值时，考虑另一个向量在该向量上投影向量的方向和模长，求得数量积的值或者范围． (3) 当a与b的终点所连线段长度为定值时，利用极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (4) 当向量a与b的模长和夹角均未知时，可以考虑以条件中已知模长和夹角的两个向量为基底分别表示向量a与b，或分别以条件中垂直的两个向量所在的方向为x轴和y轴建立坐标系，利用坐标形式a·b＝x1x2＋y1y2求解． $