第13讲 余弦定理-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第13讲 余弦定理 【学习目标】 1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法. 例1． 会利用余弦定理解决解三角形问题. 【考点目录】 考点一：余弦定理及辨析 考点二：余弦定理解三角形 考点三：余弦定理边角互化的应用 【基础知识】 知识点一、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点二、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【考点剖析】 考点一：余弦定理及辨析 例2．（2022·全国·高一）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设角对应的边为， 当是最大边时，，所以， 当不是最大边时，，所以， 所以的取值范围是， 故选：C. 例3．（2022·全国·高一课时练习）某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将． A．画不出任何满足要求的三角形 B．画出一个锐角三角形 C．画出一个直角三角形 D．画出一个钝角三角形 【答案】D 【解析】令长度较长的边对应的角为 则 画出一个钝角三角形 故选 例4．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 【答案】A 【解析】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错； 正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B正确； 余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正确； 当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D正确． 故选：A． 考点二：余弦定理解三角形 例5．（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值为（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】C 【解析】因为， 所以设， 由余弦定理可得. 故选：C. 例6．（2022·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以由余弦定理可得， 因为， 所以， 故选：D. 例7．（2022·全国·高一单元测试）在中，若，则的最大内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 所以，所以A最大， 所以， 因为 所以． 故选：C 例8．（2022·江苏·高一开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， 又因为， 所以. 因为， 所以. 故选：B 考点三：余弦定理边角互化的应用 例9．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））在△ABC中，若，则∠A的大小是______． 【答案】 【解析】因为，整理可得， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 例10．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是________三角形． 【答案】直角 【解析】由， 得＋＋，化简得， 所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形． 故答案为：直角 例11．（2022·全国·高一课时练习）的三个内角，，的对边分别是，，，且，求证：. 【解析】证明：由余弦定理得， ， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，即，∴. 若，则，与矛盾， 所以角只能是锐角， ∴，又∵，， ∴. 例12．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc， sin Asin B＝cos2．求角A和角B的大小． 【解析】因为a2－(b－c)2＝(2－)bc， 所以， 由余弦定理可知：， 因为，所以， 因为sin Asin B＝cos2， 所以， 因为，所以， 于是有 ， 因为，所以，所以， 即A＝；B＝. 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 2．（2008·福建·高考真题（理））在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】， ，即，